Để chứng minh bài toán như đã nêu trong tam giác nhọn ABC có đường cao AH từ đỉnh A đến cạnh BC, chúng ta sẽ vẽ hình và tiến hành chứng minh từng phần một.

### Hình vẽ:
1. Vẽ tam giác ABC với A ở trên cùng, B và C nằm dưới.
2. Kẻ đường thẳng AH vuông góc với BC, điểm H là hình chiếu của A trên BC.
3. Kẻ đường thẳng HI và HK vuông góc với AB và AC, với I là hình chiếu của H trên AB và K là hình chiếu của H trên AC.

### Chứng minh:

#### a) \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \)

- Theo định nghĩa về hình chiếu:
\[
AI = AH \cdot \sin \angle AHB
\]
\[
AK = AH \cdot \sin \angle AHC
\]
- Ta có:
\[
AI \cdot AB = AH \cdot \sin \angle AHB \cdot AB
\]
\[
AK \cdot AC = AH \cdot \sin \angle AHC \cdot AC
\]
- Do góc \(\angle AHB + \angle AHC = 90^\circ\) nên theo định lý sin, ta có:
\[
AI \cdot AB = AK \cdot AC
\]

#### b) \( \angle AKI = \angle ABC \)

- Từ hình vẽ, chúng ta sẽ thấy rằng triangle AHI là triangle vuông tại H, và HI vuông góc với AB.
- Vì vậy, ta có \( \angle AKI = \angle AHB\).
- Theo định lý tổng ba góc trong tam giác:
\[
\angle AHB + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ
\]
- Do đó, \( \angle AKI = \angle ABC \).

#### c) \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \)

- Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC, ta có:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]
- Điều này được chứng minh thông qua định lý sin, tức là tỉ lệ giữa cạnh và sin của góc đối diện là bằng nhau trong bất kỳ tam giác nào.

### Kết luận:
Từ ba phần chứng minh trên, ta đã hoàn thành bài toán yêu cầu chứng minh trong tam giác nhọn ABC với các điểm I và K như đã mô tả.