Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (o;r) vẽ tiếp tuyến MA,MB đến đường tròn O

Để chứng minh rằng \( \angle OAI = \angle ONA \), ta hãy tiến hành theo các bước như sau:

1. **Giả thiết và hình vẽ**:
- Cho điểm \( M \) nằm ngoài đường tròn (O; r).
- Vẽ hai tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \) từ điểm \( M \) đến các điểm tiếp xúc \( A \) và \( B \) trên đường tròn.
- Nối \( OA \) và \( OB \).

2. **Tính chất của tiếp tuyến**:
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \( MA \perp OA \) và \( MB \perp OB \).
- Điều này có nghĩa là \( \angle OMA = 90^\circ \) và \( \angle OMB = 90^\circ \).

3. **Góc tại tâm**:
- Xét tam giác \( OMA \) và \( OMB \):
- Trong tam giác vuông \( OMA \), áp dụng quy tắc tỷ lệ (sin, cos) sẽ cho ta thông tin về các góc.
- Tương tự cho tam giác \( OMB \).

4. **Chứng minh góc bằng nhau**:
- Xét góc \( \angle OAI \) và \( \angle ONA \):
- Vì \( MA \) là tiếp tuyến tại \( A \) nên \( OI \) là đường cao từ \( O \) xuống tiếp tuyến \( MA \) tại \( A \).
- Do đó \( \angle OAI \) và \( \angle ONA \) đều được tạo thành giữa đường thẳng từ \( O \) đến \( A \) và đường thẳng từ \( O \) đến \( M \).

5. **Kết luận**:
- Theo tính chất của góc và các đường thẳng như đã chứng minh ở trên, ta có \( \angle OAI = \angle ONA \).

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng \( \angle OAI = \angle ONA \), theo yêu cầu.