Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một:

### a) Chứng minh \( AI \cdot AB = AK \cdot AC \)

Áp dụng định lý xác định tỉ số hình học trong tam giác. Ta có:

- \( AI \) là chiều cao từ \( H \) đến \( AB \).
- \( AK \) là chiều cao từ \( H \) đến \( AC \).

Theo định lý sin, ta có:

\[
\frac{AI}{AB} = \frac{AK}{AC}
\]

Suy ra:

\[
AI \cdot AC = AK \cdot AB \implies AI \cdot AB = AK \cdot AC
\]

### b) Chứng minh \( \angle AKI = \angle ABC \)

Chúng ta có:

- \( AH \perp BC \) là đường cao, tức là \( \angle AHI = 90^\circ \) và \( \angle AHK = 90^\circ \).
- Do đó, tam giác \( AHI \) và tam giác \( AHK \) đều là các tam giác vuông.

Khi đó, \( \angle AKI = \angle AHC \).

Do đó, từ \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( H \) nằm trong tam giác \( ABC \), nên \( \angle AKI = \angle ABC \).

### c) Chứng minh \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \)

Theo định lý sin cho tam giác \( ABC \):

\[
\frac{AB}{\sin B} = \frac{AC}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}
\]

Vì vậy, chứng minh rằng:

\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}
\]

là đúng từ định lý sin.

### Kết luận:

Từ các điểm trên, ta đã chứng minh được các phần (a), (b) và (c) của bài toán.