a) Tính các tỉ số lượng giác của góc A: Trong ΔABC, ta có đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Điều này đồng nghĩa với việc ΔABC là tam giác vuông tại A. Bây giờ, ta sẽ tính các tỉ số lượng giác của góc A sử dụng các mối quan hệ lượng giác trong tam giác vuông:

Tỉ số lượng giác của góc A: tan(A) = BC/AB

Từ giả thiết AB = 10 cm, ta cần tính độ dài BC. Để làm điều này, ta xem xét tam giác vuông BMH:

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BMH: BM^2 = BH^2 + MH^2

Ta biết MA = 6 cm, và AH là đường cao trong tam giác ABC, nên MH = AH - AM = AH - 6 cm.

Giả thiết: CH là đường cao trong tam giác ABC, nên AH = CH. Vậy, MH = CH - 6 cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông CHN: CH^2 = CN^2 + NH^2

Vì CN = BC, nên CH^2 = BC^2 + NH^2.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ANH: AH^2 = AN^2 + NH^2

Vì AH = CH, nên CH^2 = AN^2 + NH^2.

Tổng hợp các phương trình: BC^2 + NH^2 = AN^2 + NH^2 BC^2 = AN^2

Do đó, BC = AN.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ANB: AN^2 = AB^2 + BN^2

Vì AB = 10 cm và AN = BC, nên BC^2 = 10^2 + BN^2 BN^2 = BC^2 - 10^2

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc A: tan(A) = BC/AB = BC/10 tan(A) = √(BC^2 - 10^2)/10 tan(A) = √(BN^2)/10 tan(A) = √(BC^2 - 100)/10

Như vậy, tỉ số lượng giác của góc A là √(BC^2 - 100)/10.

b) Chứng tỏ rằng góc ABM = góc ACN; AH vuông góc BC: Ta đã chứng minh ΔABC là tam giác vuông tại A trong phần a). Vì vậy, góc ABM = góc ACN.

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC và ΔABC là tam giác vuông tại A, nên AH vuông góc BC.

c) Chứng tỏ rằng IJ vuông góc MN: Ta đã biết I và J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Điều này đồng nghĩa với việc AI = IH và BJ = JC.

Khi đó, ta có:

MN || BC (do MN là đường cao trong tam giác BMN) IJ || BC (do IJ là đường chia đôi AB và song song với BC)

Vậy, theo tính chất của hai đoạn thẳng song song, ta có IJ vuông góc MN.