Cho hình vuông ABCD, lấy điểm P trên cạnh AB(P khác A và B)

Để giải quyết bài toán này, ta tiến hành như sau:

### a. Tính độ dài \( PC \)

1. **Xác định tọa độ của các điểm trong hình vuông**:
- Giả sử hình vuông \( ABCD \) nằm trong tọa độ Cartesian với:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(12, 0) \)
- \( C(12, 12) \)
- \( D(0, 12) \)
- Theo đề bài, độ dài \( PB = 9 \). Suy ra tọa độ của điểm \( P \):
- \( P(12 - 9, 0) = P(3, 0) \)

2. **Tính độ dài \( PC \)**:
- Tọa độ của \( C \) là \( (12, 12) \).
- Độ dài \( PC \) được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm:
\[
PC = \sqrt{(x_C - x_P)^2 + (y_C - y_P)^2}
\]
\[
PC = \sqrt{(12 - 3)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2}
\]
\[
PC = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]

### b. Chứng minh tam giác \( HPB \) đồng dạng với tam giác \( HBC \)

1. **Tìm tọa độ điểm H**:
- Điểm \( H \) là giao điểm của đường vuông góc vẽ từ \( P \) tới \( PC \). Điều này sẽ nghĩa rằng \( H \) có tọa độ \( (3, h) \) với \( h \) là một giá trị nào đó mà ta chưa xác định.

2. **Xét các tỉ lệ**:
- Ta có tam giác \( HPB \) với chiều cao từ \( H \) đến \( PB \).
- Tam giác \( HBC \) có chiều cao từ \( H \) đến cạnh \( BC \).

Chứng minh đồng dạng:
- Vì \( \angle HPB = \angle HBC \) (đều là góc vuông),
- Do đó, ta chỉ cần chứng minh \( \frac{HP}{HB} = \frac{HC}{HB} \).

3. **Sử dụng tính đồng dạng**:
- Do tam giác \( HPB \) và \( HBC \) chia sẻ một cạnh \( HB \), và \( PB \) và \( BC \) song song với nhau, dẫn đến hệ số tương ứng.

### Kết luận:
- Độ dài \( PC \) là 15.
- Tam giác \( HPB \) đồng dạng với tam giác \( HBC \).

Hy vọng các bước giải thích của tôi giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán!