Để tính độ dài các cạnh BC và AB trong tam giác vuông ABC tại A, với \( AC = 16 \) cm và \( \sin \angle CAH = \frac{4}{5} \), ta làm như sau:

1. **Tính độ dài AH:**
\[
\sin(\angle CAH) = \frac{AH}{AC} \implies AH = AC \cdot \sin(\angle CAH)
\]
Thay số vào:
\[
AH = 16 \cdot \frac{4}{5} = 12.8 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AB:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2
\]
Thay vào và tính:
\[
AB^2 + (12.8)^2 = (16)^2
\]
\[
AB^2 + 163.84 = 256
\]
\[
AB^2 = 256 - 163.84 = 92.16
\]
\[
AB = \sqrt{92.16} \approx 9.6 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài BC:**
Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay vào và tính:
\[
BC^2 = (9.6)^2 + (16)^2
\]
\[
BC^2 = 92.16 + 256 = 348.16
\]
\[
BC = \sqrt{348.16} \approx 18.66 \text{ cm}
\]

**Kết quả:**
- Độ dài cạnh \( AB \approx 9.6 \) cm.
- Độ dài cạnh \( BC \approx 18.66 \) cm.