Để chứng minh các bất phương trình đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng trường hợp một.

### a) Chứng minh rằng \( a(a - 6) + 10 > 0 \)

Ta có:
\[
a(a - 6) + 10 = a^2 - 6a + 10
\]
Để chứng minh bất phương trình này, ta sẽ tìm delta của phương trình bậc 2 \( a^2 - 6a + 10 \).

Delta được tính như sau:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]
Vì delta âm nên phương trình \( a^2 - 6a + 10 = 0 \) không có nghiệm thực. Hệ số b^2 > 0, vậy hàm số \( a^2 - 6a + 10 \) luôn dương.

Vậy:
\[
a(a - 6) + 10 > 0
\]
đối với mọi giá trị của \( a \).

### b) Chứng minh rằng \( (x - 3)(x - 5) + 4 > 0 \)

Ta có:
\[
(x - 3)(x - 5) + 4 = x^2 - 8x + 15 + 4 = x^2 - 8x + 19
\]
Tương tự, ta tìm delta của \( x^2 - 8x + 19 \).

Delta được tính như sau:
\[
\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 64 - 76 = -12
\]
Vì delta cũng âm, nên phương trình \( x^2 - 8x + 19 = 0 \) không có nghiệm thực. Hệ số b^2 > 0, do đó \( x^2 - 8x + 19 \) cũng luôn dương.

Vậy:
\[
(x - 3)(x - 5) + 4 > 0
\]
đối với mọi giá trị của \( x \).

### c) Chứng minh rằng \( a^2 + a + 1 > 0 \)

Ta xét hàm số
\[
f(a) = a^2 + a + 1
\]
Tính delta của phương trình bậc 2 \( a^2 + a + 1 \):
\[
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì delta âm nên phương trình \( a^2 + a + 1 = 0 \) không có nghiệm thực. Hệ số b^2 > 0, do đó \( a^2 + a + 1 \) luôn dương.

Vậy:
\[
a^2 + a + 1 > 0
\]
đối với mọi giá trị của \( a \).

### Kết luận
Ta đã chứng minh được rằng:
- \( a(a - 6) + 10 > 0 \)
- \( (x - 3)(x - 5) + 4 > 0 \)
- \( a^2 + a + 1 > 0 \)

Cho mọi giá trị tương ứng của \( a \) và \( x \).