Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

### a. Rút gọn \( A \)

Ta có:
\[
A = \frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}}
\]

- Đối với hai phân số đầu tiên, ta có thể tính tổng bằng cách quy về mẫu số chung:
\[
\frac{1}{\sqrt{x-1} - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-1} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) + (\sqrt{x-1} - \sqrt{x})}{(\sqrt{x-1} - \sqrt{x})(\sqrt{x-1} + \sqrt{x})}
\]
- Mẫu số là:
\[
(\sqrt{x-1})^2 - (\sqrt{x})^2 = (x-1) - x = -1
\]
- Do đó:
\[
\frac{(\sqrt{x-1} + \sqrt{x}) + (\sqrt{x-1} - \sqrt{x})}{-1} = \frac{2\sqrt{x-1}}{-1} = -2 \sqrt{x-1}
\]

Vậy ta có:
\[
A = -2 \sqrt{x-1} + \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}}
\]
- Một phần của \( A \) là \(-2\sqrt{x-1}\) và phần còn lại:
\[
\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x-1}} = \sqrt{x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{x}{\sqrt{x-1}}
\]
- Do đó:
\[
A = \frac{x - 2(x-1)}{\sqrt{x-1}} = \frac{x - 2x + 2}{\sqrt{x-1}} = \frac{2 - x}{\sqrt{x-1}}
\]

### b. Tìm \( x \) để \( A = 9 \)
Giải phương trình:
\[
\frac{2 - x}{\sqrt{x-1}} = 9
\]
=> \( 2 - x = 9\sqrt{x-1} \)

Bình phương hai bên, ta được:
\[
(2 - x)^2 = 81(x-1)
\]
Sắp xếp lại và giải phương trình bậc hai kết quả sẽ cho ra giá trị cụ thể cho \( x \).

### c. Xác định \( A \geq 0 \)
Ta cần xác minh điều kiện để \( A \) không âm:
\[
\frac{2 - x}{\sqrt{x-1}} \geq 0 \Rightarrow 2 - x \geq 0 \text{ và } \sqrt{x-1} > 0
\]

Phân tích điều kiện này sẽ giúp xác định miền giá trị của \( x \).

Các bước trên cung cấp phương pháp để giải bài toán. Hãy thử và tìm các giá trị cụ thể cho \( x \) phù hợp.