Để chứng minh định lý \( BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với đường cao \( AH \), ta sẽ sử dụng định lý Pythagore và một số tính chất của tam giác.

1. **Đặt kí hiệu:**
- Giả sử \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \).
- Đặt \( AH = h \), \( BH = m \), \( CH = n \).

2. **Áp dụng định lý Pythagore:**
- Ta có:
\[
AB^2 = AH^2 + BH^2 \implies c^2 = h^2 + m^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + CH^2 \implies b^2 = h^2 + n^2
\]
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies a^2 = c^2 + b^2
\]

3. **Thay thế:**
- Từ các phương trình trên, ta có thể thể hiện \( c^2 \) và \( b^2 \) bằng \( h \), \( m \), và \( n \):
\[
c^2 = h^2 + m^2
\]
\[
b^2 = h^2 + n^2
\]

4. **Tính \( BC^2 \):**
- Hợp nhất các biểu thức, ta có:
\[
a^2 = (h^2 + m^2) + (h^2 + n^2) = 2h^2 + m^2 + n^2
\]
- Đặt lại \( m = BH \) và \( n = CH \) ta có:
\[
a^2 = 2h^2 + BH^2 + CH^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2
\]

5. **Kết luận:**
- Do đó, ta đã chứng minh được:
\[
BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2
\]

Định lý đã được chứng minh.