Để giải bài toán này, ta sẽ giải từng phần một.

### 1. Phần đầu tiên:
Giải phương trình:
\[
\tan^2 x - (\sqrt{3} + 1) \tan x + \sqrt{3} = 0
\]
Gọi \( t = \tan x \), ta có phương trình:
\[
t^2 - (\sqrt{3}+1)t + \sqrt{3} = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[
t = \frac{(-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})}{2a} = \frac{(\sqrt{3}+1) \pm \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2 - 4\sqrt{3}}}{2}
\]

Tính:
1. \( b^2 = (\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \)
2. \( 4ac = 4\sqrt{3} \)

Vậy:
\[
b^2 - 4ac = (4 + 2\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3}
\]
Nên:
\[
t = \frac{(\sqrt{3}+1) \pm \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}}{2}
\]

Tính giá trị của \( \sqrt{4 - 2\sqrt{3}} \):
\[
\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1
\]

Vậy:
\[
t = \frac{(\sqrt{3}+1) \pm (\sqrt{3}-1)}{2}
\]
Có hai nghiệm:
\[
t_1 = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{2}{2} = 1
\]

Từ đó:
- Nếu \( t = \sqrt{3} \Rightarrow x = 60^\circ \) hoặc \( x = 240^\circ \) (không hợp lệ vì góc phải là nhọn).
- Nếu \( t = 1 \Rightarrow x = 45^\circ \).

### 2. Phần thứ hai:
Giải phương trình:
\[
\sin^2 x + \sin x = \cos^2 x
\]

Sử dụng đẳng thức \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
\[
\sin^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x
\]
Suy ra:
\[
2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0
\]

Gọi \( y = \sin x \), ta có phương trình:
\[
2y^2 + y - 1 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]

Có hai nghiệm:
\[
y_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{-4}{4} = -1 \quad (\text{không hợp lệ trong trường hợp này})
\]

Vậy:
\[
\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 30^\circ \text{ hoặc } 150^\circ \text{ (không hợp lệ vì góc phải là nhọn)}
\]

### Kết luận:
Số đo của góc nhọn \( x \) là:
- Từ phần 1: \( x = 45^\circ \)
- Từ phần 2: \( x = 30^\circ \)

Góc nhọn thỏa mãn cả hai phương trình là **30°**.