Để chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC, ta sẽ dựa vào sự tương ứng giữa các góc của hai tam giác này.

1. **Xác định các góc tương ứng**:
- Tại điểm A, góc AEF bằng góc ABC (AEF và ABC cùng nằm trên đường thẳng chứa BC và AE).
- Tại điểm B, góc AEF bằng góc ACB (AEF và ACB cùng nằm trên đường thẳng chứa AC và BE).
- Tại điểm E, góc AFE bằng góc A (góc AFE là góc giữa AE và EF, còn góc A là góc giữa AB và AC).

2. **Tương ứng giữa các góc**:
- Ta đã chỉ ra được ba cặp góc tương ứng: ∠AEF = ∠ABC, ∠AFE = ∠ACB, và ∠EAF = ∠A. Như vậy, ba cặp góc tương ứng giữa hai tam giác này đều bằng nhau.

3. **Kết luận về đồng dạng**:
- Do hai tam giác AEF và ABC có ba cặp góc tương ứng bằng nhau, theo tiêu chí góc-góc-góc (AAA), chúng ta suy ra rằng tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC, ký hiệu là \( \triangle AEF \sim \triangle ABC \).

4. **Tìm tỉ số về diện tích**:
- Từ tính chất đồng dạng của hai tam giác, ta có công thức:
\[
\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \left( \frac{AE}{AB} \right)^2 = \left( \frac{EF}{BC} \right)^2
\]

5. **Tính liên hệ giữa cos^2 A và diện tích**:
- Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC, ta có:
\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]
Trong đó \( a, b, c \) là độ dài các cạnh đối diện với các góc A, B, C.
- Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính theo công thức:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} ab \sin C
\]
- Kết hợp với diện tích tam giác AEF, ta có thể chuyển đổi giữa các tỉ số diện tích và cos.

Cuối cùng, ta có thể kết luận:
\[
\cos^2 A = \frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}
\]
Hoặc chi tiết hơn có thể được khẳng định thông qua các tỉ lệ và cách tính diện tích từ chiều cao tương ứng với cạnh cơ sở. Qua đó, điều chứng minh cũng hoàn tất.