Để giải phương trình

\[
\sqrt{x - 4\sqrt{x - 1} + 3} + \sqrt{x - 6\sqrt{x - 1} + 8} = 1,
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Đặt ẩn phụ**: Gọi \( y = \sqrt{x - 1} \), từ đó \( x = y^2 + 1 \).

2. **Thay thế vào phương trình**: Ta có

\[
\sqrt{(y^2 + 1) - 4y + 3} + \sqrt{(y^2 + 1) - 6y + 8} = 1.
\]

3. **Đưa về dạng đơn giản hơn**:

\[
\sqrt{y^2 - 4y + 4} + \sqrt{y^2 - 6y + 9} = 1,
\]

tức là

\[
\sqrt{(y - 2)^2} + \sqrt{(y - 3)^2} = 1.
\]

4. **Giải**:

Khi đó, cả hai căn bậc hai đều không âm, nên ta có:

\[
|y - 2| + |y - 3| = 1.
\]

Ta sẽ phân tích thành các trường hợp dựa trên từng giá trị của \( y \):

- **Trường hợp 1**: \( y \geq 3 \):
\[
(y - 2) + (y - 3) = 1 \Longrightarrow 2y - 5 = 1 \Longrightarrow 2y = 6 \Longrightarrow y = 3.
\]

- **Trường hợp 2**: \( 2 \leq y < 3 \):
\[
(y - 2) + (3 - y) = 1 \Longrightarrow 1 = 1 \text{ (luôn đúng)}.
\]

- **Trường hợp 3**: \( y < 2 \):
\[
(2 - y) + (3 - y) = 1 \Longrightarrow 5 - 2y = 1 \Longrightarrow 2y = 4 \Longrightarrow y = 2.
\]

5. **Tổng hợp nghiệm**: Từ các trường hợp trên, ta có:

- Khi \( y = 3 \), ta có \( x = y^2 + 1 = 9 + 1 = 10 \).
- Khi \( 2 \leq y < 3 \), ta có \( 2 \leq y < 3 \) tương ứng với \( 2 \leq \sqrt{x - 1} < 3 \) hay \( 5 \leq x < 10 \).
- Khi \( y = 2 \), ta có \( x = 5 \).

**Kết luận**: Nghiệm của phương trình là \( x \) trong khoảng \( [5, 10) \cup \{10\} \).

Vậy nghiệm cuối cùng là \( x \in [5, 10] \).