Để xác định giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( (d_m) \) vuông góc với đường thẳng \( (d) \) và để đường thẳng \( (d_m) \) là hàm số đồng biến, ta thực hiện các bước sau:

### 1. Xác định độ dốc của các đường thẳng

**Đường thẳng (d)** có phương trình:
\[
y = \frac{1}{4}x - 3
\]
Do đó, độ dốc của đường thẳng \( (d) \) là \( k_d = \frac{1}{4} \).

**Đường thẳng (d_m)** có phương trình:
\[
y = \frac{1-m}{m+2}x + (1-m)(m+2)
\]
Độ dốc của đường thẳng \( (d_m) \) là \( k_m = \frac{1-m}{m+2} \).

### 2. Điều kiện vuông góc

Hai đường thẳng sẽ vuông góc với nhau nếu tích của độ dốc của chúng bằng -1:
\[
k_m \cdot k_d = -1
\]
Thay giá trị vào, ta có:
\[
\frac{1-m}{m+2} \cdot \frac{1}{4} = -1
\]
Giải phương trình này:
\[
\frac{1-m}{m+2} = -4
\]
Nhân chéo:
\[
1 - m = -4(m + 2)
\]
\[
1 - m = -4m - 8
\]
Đưa tất cả về một phía:
\[
1 + 8 = -4m + m
\]
\[
9 = -3m
\]
\[
m = -3
\]

### 3. Điều kiện đồng biến

Đường thẳng \( (d_m) \) đồng biến khi độ dốc \( k_m > 0 \):
\[
\frac{1-m}{m+2} > 0
\]
Điều này xảy ra khi:
- \( 1 - m > 0 \) và \( m + 2 > 0 \) , tức là \( m < 1 \) và \( m > -2 \).
- Hoặc \( 1 - m < 0 \) và \( m + 2 < 0 \), tức là \( m > 1 \) và \( m < -2 \) (không tồn tại).

Kết luận, đường thẳng \( (d_m) \) là hàm số đồng biến khi:
\[
-2 < m < 1
\]

### Kết quả
- Để \( (d_m) \) vuông góc với \( (d) \): \( m = -3 \)
- Để \( (d_m) \) là hàm số đồng biến: \( -2 < m < 1 \)