Tìm số dư khi T = 2^1+2^3+2^5+.....+2^303 chia cho 85

Để tính số dư của \( T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303} \) khi chia cho 85, trước tiên chúng ta có thể quy đổi chuỗi số này.

Chuỗi này là một cấp số cộng gồm các số mũ lẻ từ \( 2^1 \) đến \( 2^{303} \). Số hạng đầu tiên là \( 2^1 \), số hạng cuối cùng là \( 2^{303} \) và số hạng tổng cộng là \( 152 \) (vì có 152 số mũ lẻ trong khoảng từ 1 đến 303).

Ta có thể thấy rằng chuỗi này có thể viết lại dưới dạng

\[
T = \sum_{k=0}^{151} 2^{2k+1} = 2 \sum_{k=0}^{151} 2^{2k}
\]

Sử dụng công thức của tổng cấp số nhân để tính tổng này:

\[
\sum_{k=0}^{n} r^k = \frac{r^{n+1} - 1}{r - 1}
\]

Áp dụng công thức cho \( r = 2^2 = 4 \) và \( n = 151 \):

\[
\sum_{k=0}^{151} 2^{2k} = \frac{2^{2(151+1)} - 1}{2^2 - 1} = \frac{2^{304} - 1}{3}
\]

Vì vậy,

\[
T = 2 \cdot \frac{2^{304} - 1}{3} = \frac{2^{305} - 2}{3}
\]

Tiếp theo, chúng ta cần tính số dư của \( T \) khi chia cho \( 85 = 5 \times 17 \). Ta sẽ tính số dư của \( T \) theo từng modulo và sau đó sử dụng định lý China.

**Bước 1: Tính T mod 5**
Đầu tiên, ta có:

\[
2^{305} \mod 5
\]

Chu kỳ của \( 2^n \mod 5 \) là 4:

\[
\begin{align*}
2^1 & \equiv 2 \\
2^2 & \equiv 4 \\
2^3 & \equiv 3 \\
2^4 & \equiv 1 \\
\end{align*}
\]

Do đó, \( 305 \mod 4 \equiv 1 \) nên \( 2^{305} \equiv 2 \mod 5 \).

Do đó,

\[
T \mod 5 = \frac{(2^{305} - 2)}{3} \mod 5 \equiv \frac{(2 - 2)}{3} \mod 5 \equiv \frac{0}{3} \equiv 0 \mod 5
\]

**Bước 2: Tính T mod 17**
Tiếp theo, ta cần tính \( 2^{305} \mod 17 \):

Chu kỳ của \( 2^n \mod 17 \) là 8:

\[
\begin{align*}
2^1 & \equiv 2 \\
2^2 & \equiv 4 \\
2^3 & \equiv 8 \\
2^4 & \equiv 16 \equiv -1 \\
2^5 & \equiv 15 \\
2^6 & \equiv 13 \\
2^7 & \equiv 9 \\
2^8 & \equiv 1 \\
\end{align*}
\]

Với \( 305 \mod 8 \equiv 1 \) thì \( 2^{305} \equiv 2 \mod 17 \).

Do đó,

\[
T \mod 17 = \frac{(2^{305} - 2)}{3} \mod 17 \equiv \frac{(2 - 2)}{3} \equiv \frac{0}{3} \equiv 0 \mod 17
\]

**Bước 3: Dùng định lý Trung Quốc**
Từ \( T \equiv 0 \mod 5 \) và \( T \equiv 0 \mod 17 \), ta có:

\[
T \equiv 0 \mod 85
\]

Cùng nhau, điều này dẫn đến số dư của \( T = 0 \) khi chia cho 85.

Vì vậy, số dư khi \( T \) chia cho 85 là:

\[
\boxed{0}
\]