Để giải hệ phương trình này, ta có:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{1+x} + \frac{2}{y+1} = 1 \quad (1) \\
\frac{4}{x+1} - \frac{12}{y+1} = -1 \quad (2)
\end{cases}
\]

**Bước 1: Giải phương trình (1)**

Từ phương trình (1):

\[
\frac{1}{1+x} + \frac{2}{y+1} = 1
\]

Ta đưa các phần tử về cùng mẫu:

\[
\frac{1}{1+x} = 1 - \frac{2}{y+1}
\]

\[
\frac{1}{1+x} = \frac{(y+1) - 2}{y+1} = \frac{y-1}{y+1}
\]

=> Thay đổi phương trình thành:

\[
\frac{1}{1+x} = \frac{y-1}{y+1}
\]

=> Tính ngược để tìm \(x\):

\[
1+x = \frac{(y+1)}{(y-1)}
\]

=> \(x = \frac{y+1}{y-1} - 1 = \frac{y+1 - (y-1)}{y-1} = \frac{2}{y-1}\)

**Bước 2: Thay giá trị x vào phương trình (2)**

Ta có \(x = \frac{2}{y-1}\), thay vào phương trình (2):

\[
\frac{4}{\frac{2}{y-1} + 1} - \frac{12}{y+1} = -1
\]

Tính mẫu số cho \(x+1\):

\[
x + 1 = \frac{2}{y-1} + 1 = \frac{2 + (y-1)}{y-1} = \frac{y+1}{y-1}
\]

Do đó, phương trình (2) được thay đổi thành:

\[
\frac{4(y-1)}{y+1} - \frac{12}{y+1} = -1
\]

Ta có:

\[
\frac{4(y-1) - 12}{y+1} = -1
\]

=> Nhân chéo:

\[
4(y-1) - 12 = - (y + 1)
\]

Giải phương trình này:

\[
4y - 4 - 12 = -y - 1 \Rightarrow 4y + y = 15 \Rightarrow 5y = 15 \Rightarrow y = 3
\]

**Bước 3: Tìm x bằng y = 3**

Thay y vào công thức cho x:

\[
x = \frac{2}{3-1} = 1
\]

**Giải nghiệm:**

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 3)
\]

Có thể kiểm tra lại bằng cách thay lại vào các phương trình ban đầu để xác nhận giá trị đúng.