Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán liên quan đến hình bình hành ABCD.

### a) Chứng minh AEBC và ABFC là các hình bình hành.

**Để chứng minh AEBC là hình bình hành**:
1. **Tính chất đối xứng**: Do E là điểm đối xứng của D qua A, nên \( AE = AD \) và \( AE \parallel AD \).
2. **Tính chất chiều dài**: Từ hình bình hành ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \).
3. Như vậy, tập hợp những cặp cạnh song song và bằng nhau của tứ giác AEBC chứng tỏ rằng AEBC là hình bình hành.

**Tương tự, để chứng minh ABFC là hình bình hành**:
1. **Tính chất đối xứng**: F là điểm đối xứng của D qua C, nên \( CF = CD \) và \( CF \parallel CD \).
2. **Tính chất chiều dài**: Bởi vì ABCD là hình bình hành, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \).
3. Như vậy, AEBC và ABFC đều là các hình bình hành.

### b) Các điểm E và F có đối xứng với nhau qua điểm B không? Vì sao?

Để kiểm tra xem E và F có đối xứng qua B hay không, ta cần xem xét tính chất đối xứng đối với B. Tuy nhiên:

1. E được xác định từ D qua A, còn F được xác định từ D qua C. Nếu A và C không đối xứng qua B, thì E và F cũng không đối xứng qua B.
2. Trong hình bình hành ABCD, A và C là hai đỉnh đối diện, do đó cả E và F đều không nằm trên đường thẳng đi qua B.

Vì vậy, E và F không đối xứng qua điểm B.

### c) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để E đối xứng với F qua đường thẳng BD.

Để E đối xứng với F qua BD, ta cần:

1. Điểm B cần là trung điểm của đoạn EF.
2. Từ đó suy ra rằng \( BE = BF \).

Điều này chỉ xảy ra khi ΔADB và ΔBFC đồng dạng hoặc hai đỉnh đối xứng của tứ giác.

**Điều kiện cần**:
- Hai đường chéo AC và BD phải cắt nhau tại điểm B, và B phải là điểm giữa của AE và CF. Từ đó, nếu cho 2 tam giác có cạnh đáy là BD, thì độ dài hai cạnh tương ứng cũng cần bằng nhau.

Như vậy, chúng ta cần có \( AE = CF \) và góc \( \angle ABD = \angle CBF \) để có thể khẳng định rằng E đối xứng với F qua đường thẳng BD.

Hy vọng những giải thích trên giúp ích cho bạn!