Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ABCD bằng nhau.

1. **Tính tọa độ điểm D:** Giả sử điểm A có tọa độ \((x_A, y_A)\), điểm B có tọa độ \((x_B, y_B)\), điểm C có tọa độ \((x_C, y_C)\). Điểm O là trung điểm của AC, nên tọa độ của O là:
\[
O = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right).
\]

2. **Điều kiện trên tia BO:** Ta có điểm D trên tia BO sao cho OD = OB. Gọi điểm D có tọa độ là \((x_D, y_D)\). Vậy theo định nghĩa, ta có:
\[
OD = OB.
\]
Trong đó \(OB = \sqrt{(x_B - x_O)^2 + (y_B - y_O)^2}\) và \(OD = \sqrt{(x_D - x_O)^2 + (y_D - y_O)^2}\). Điều này cho thấy chiều dài của tụi cạnh OB và OD là bằng nhau, tức là:
\[
OB^2 = OD^2.
\]

3. **Chứng minh rằng AB = CD và BC = AD:**
- **Tính cạnh AB:**
\[
AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}.
\]
- **Tính cạnh CD:**
Từ điều kiện OD = OB, mà O là trung điểm của AC, ta có
\[
OD = OB \implies CD = AB.
\]

- **Tính cạnh BC:**
\[
BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}.
\]
- **Tính cạnh AD:**
Từ điều kiện OD = OB, và với O làm trung điểm, về hình học, chúng ta có thể suy ra rằng AD = BC.

Như vậy, từ các điều kiện trên, ta có:
- \(AB = CD\)
- \(AD = BC\)

Vì vậy, tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối bằng nhau, do đó ABCD là một hình bình hành.

Kết luận: Tứ giác ABCD là hình bình hành.