Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính toán từng phần một dựa trên các thông tin đã cho.

### Đã biết:
- \( \sin a = \frac{8}{17} \)
- \( \tan b = \frac{5}{12} \)

#### Bước 1: Tính \( \cos a \) và \( \tan a \)

- Từ \( \sin a = \frac{8}{17} \), ta có:
\[
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}
\]
\[
\cos a = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}
\]
- Tính \( \tan a \):
\[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}} = \frac{8}{15}
\]

### Đáp án a:
- **Đúng**: \( \tan a = \frac{8}{15} \)

#### Bước 2: Tính \( \sin(a - b) \)

- Từ \( \tan b = \frac{5}{12} \), ta có:
\[
\sin b = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{5}{13}, \quad \cos b = \frac{12}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{12}{13}
\]
- Áp dụng công thức sin(a - b):
\[
\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
\]
\[
= \frac{8}{17} \cdot \frac{12}{13} - \frac{15}{17} \cdot \frac{5}{13} = \frac{96}{221} - \frac{75}{221} = \frac{21}{221}
\]

### Đáp án b:
- **Đúng**: \( \sin(a - b) = \frac{21}{221} \)

#### Bước 3: Tính \( \cos(a + b) \)

- Áp dụng công thức cos(a + b):
\[
\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b
\]
\[
= \frac{15}{17} \cdot \frac{12}{13} - \frac{8}{17} \cdot \frac{5}{13} = \frac{180}{221} - \frac{40}{221} = \frac{140}{221}
\]

### Đáp án c:
- **Sai**: \( \cos(a + b) = \frac{140}{221} \neq \frac{14}{22} \)

#### Bước 4: Tính \( \tan(a + b) \)

- \(\tan(a + b)\) được tính bằng cách:
\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]
\[
= \frac{\frac{8}{15} + \frac{5}{12}}{1 - \frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12}}
\]
- Tính \( \tan a + \tan b \):
\[
= \frac{8 \times 12 + 5 \times 15}{15 \times 12} = \frac{96 + 75}{180} = \frac{171}{180}
\]
- Tính \( 1 - \tan a \tan b \):
\[
= 1 - \frac{8 \times 5}{15 \times 12} = 1 - \frac{40}{180} = \frac{140}{180}
\]
- Tính \( \tan(a + b) \):
\[
\tan(a + b) = \frac{171}{140}
\]

### Đáp án d:
- **Sai**: \( \tan(a + b) = \frac{171}{140} \neq \frac{17}{14} \)

### Tóm tắt:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai