Cho các số thực a, b thỏa mãn a + b = 2 và ab = -1

Để tìm giá trị của \( a^2 + b^2 \), \( a^3 + b^3 \), \( a^4 + b^4 \), \( a^5 + b^5 \), \( a^6 + b^6 \), và \( a^7 + b^7 \) cho các số thực \( a, b \) thỏa mãn \( a + b = 2 \) và \( ab = -1 \), ta có thể sử dụng một số công thức và tính toán cụ thể.

1. **Tìm giá trị của \( a^2 + b^2 \)**:
\[
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
\]
Thay thế vào công thức:
\[
a^2 + b^2 = 2^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6
\]

2. **Tìm giá trị của \( a^3 + b^3 \)**:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 + b^2 - ab)
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
a^3 + b^3 = 2(6 - (-1)) = 2 \times 7 = 14
\]

3. **Tìm giá trị của \( a^4 + b^4 \)**:
Sử dụng công thức:
\[
a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2(a b)^2
\]
Với \( (ab)^2 = (-1)^2 = 1 \):
\[
a^4 + b^4 = 6^2 - 2 \times 1 = 36 - 2 = 34
\]

4. **Tìm giá trị của \( a^5 + b^5 \)**:
Sử dụng công thức:
\[
a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 + b^4) - ab(a^3 + b^3)
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
a^5 + b^5 = 2 \times 34 - (-1) \times 14 = 68 + 14 = 82
\]

5. **Tìm giá trị của \( a^6 + b^6 \)**:
Sử dụng công thức:
\[
a^6 + b^6 = (a^2 + b^2)(a^4 + b^4) - (ab)(a^3 + b^3)
\]
Thay các giá trị đã biết:
\[
a^6 + b^6 = 6 \times 34 - (-1) \times 14 = 204 + 14 = 218
\]

6. **Tìm giá trị của \( a^7 + b^7 \)**:
Sử dụng công thức:
\[
a^7 + b^7 = (a + b)(a^6 + b^6) - ab(a^5 + b^5)
\]
Thay thế vào:
\[
a^7 + b^7 = 2 \times 218 - (-1) \times 82 = 436 + 82 = 518
\]

Tóm lại, các giá trị là:
- \( a^2 + b^2 = 6 \)
- \( a^3 + b^3 = 14 \)
- \( a^4 + b^4 = 34 \)
- \( a^5 + b^5 = 82 \)
- \( a^6 + b^6 = 218 \)
- \( a^7 + b^7 = 518 \)