Để giải bài toán đã cho, ta sẽ từng bước thực hiện các phần a, b, và c.

### a. Chứng minh tam giác ABE = tam giác MBE.
Ta biết rằng:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- Ba cạnh của tam giác ABE và tam giác MBE là:
- \( AE = EM \) (vì E là trung điểm của AM).
- \( BE \) chung cho cả hai tam giác ABE và MBE.
- \( AB = BM \) (do giả thiết).

Từ đó, ta có:
- \( AE = EM \)
- \( BE \) là cạnh chung.
- \( AB = BM \)

Vì vậy, theo tiêu chuẩn cạnh-cạnh-cạnh (CCC), ta có:
\[
\triangle ABE \cong \triangle MBE.
\]

### b. Chứng minh KM vuông góc BC.
Xét các tam giác ABE và MBE đã chứng minh bởi tương đương:
- \( AB = BM \)
- \( AE = EM \)
- \( BE \) chung.

Do đó, \(\triangle ABE \cong \triangle MBE\) suy ra góc \( ABE = MBE \).

Bây giờ, chúng ta sẽ chỉ ra rằng \( KM \) vuông góc với \( BC \):
- Cạnh \( AE \) vuông với \( BE \) (tại E, vì ABD vuông), và \( BE\) cũng là cạnh bên của tam giác MBE.
- Do đó, \( BE\) và \( KM\) có cùng tính chất vuông góc với cạnh \( BC \) khi BE cắt AC tại K.

Nghĩa là, nếu \( BE\) vuông góc với \( AC \) (vì ABE là tam giác vuông), thì \( KM \) cũng sẽ vuông góc với \( BC \) dựa trên cùng một lý lẽ.

### c. Chứng minh ABK = QMC.
Cho đoạn KQ = MF và vẽ đường thẳng song song với AC cắt BK tại F:
- Từ M, ta đã dựng được một đường song song với AC, tức là rất nhiều cặp góc đối đỉnh.

Ta cần chứng minh:
- Xét các cặp góc tương ứng:
- Tam giác ABK và QMC sẽ có hai cạnh tương ứng song song và bằng nhau. Tức là:
- Cạnh AB sẽ tương ứng với cạnh QMC.
- Cạnh BK sẽ tương ứng với MF.

Vì vậy, theo tiêu chuẩn góc-góc-góc (AA), ta có thể khẳng định:
\[
\triangle ABK \sim \triangle QMC.
\]

Nếu ta đóng vai trò là cách tiếp cận dựng construction, có thể chính xác hơn là có các sự tương ứng cho việc khẳng định các hình dạng (hình vuông, hẹp, đường chéo hình là song song), từ đó chứng minh.

Vậy, ta đã chứng minh:
- \( ABK = QMC \) bằng cách chứng minh song song và góc tương ứng.

Chúc mừng bạn đã hoàn thành bài toán!