Trong tam giác ABC vuông tại A, với AH là đường cao từ A đến cạnh BC, và các đoạn HB = 2 cm và HC = 4 cm, ta có thể tính các thông số khác và diện tích của tam giác.

1. **Xác định độ dài của cạnh BC:**
\[
BC = HB + HC = 2 cm + 4 cm = 6 cm
\]

2. **Tính độ dài của cạnh AB và AC:**
Sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{HB}{BC} \quad và \quad \frac{AC}{AH} = \frac{HC}{BC}
\]

Gọi độ dài của AH là h. Từ đó, ta có:
\[
AB = h \cdot \frac{HB}{BC} = h \cdot \frac{2}{6} = \frac{h}{3}
\]
\[
AC = h \cdot \frac{HC}{BC} = h \cdot \frac{4}{6} = \frac{2h}{3}
\]

3. **Áp dụng định lý Pythagoras:**
Trong tam giác vuông tại A:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Thay các độ dài vào:
\[
\left(\frac{h}{3}\right)^2 + \left(\frac{2h}{3}\right)^2 = 6^2
\]
\[
\frac{h^2}{9} + \frac{4h^2}{9} = 36
\]
\[
\frac{5h^2}{9} = 36
\]
Nhân cả hai bên với 9:
\[
5h^2 = 324
\]
\[
h^2 = \frac{324}{5} = 64.8
\]
\[
h = \sqrt{64.8} \approx 8.06 \text{ cm}
\]

4. **Tính độ dài AB và AC:**
Từ h, ta tìm được độ dài của AB và AC:
\[
AB = \frac{h}{3} \approx \frac{8.06}{3} \approx 2.69 \text{ cm}
\]
\[
AC = \frac{2h}{3} \approx \frac{2 \times 8.06}{3} \approx 5.36 \text{ cm}
\]

5. **Tính diện tích của tam giác ABC:**
Diện tích S của tam giác ABC được tính theo công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times \frac{h}{3} \times \frac{2h}{3} = \frac{h^2}{9} \approx \frac{64.8}{9} \approx 7.2 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích của tam giác ABC khoảng 7.2 cm².