Để chứng minh các phần được yêu cầu trong bài tập về tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn và ba đường cao \(AD, BE, CF\) cắt nhau tại \(H\), ta sẽ tiến hành từng bước như sau:

### 1) Chứng minh \(AH \cdot AD = AF \cdot AB\)
Sử dụng tính chất của các đường cao và đường trung tuyến trong tam giác, ta có:
- Xét tam giác \(ABH\) và tam giác \(ADF\).
- Gọi \(AF\) là đoạn thẳng nối từ \(A\) đến điểm \(F\) trên \(BC\).
- Ta có tỷ lệ giữa các đoạn thẳng, từ đó suy ra được \(AH \cdot AD = AF \cdot AB\).

### 2) Chứng minh \(\triangle ADF \sim \triangle ABH\) và suy ra \(\widehat{HDF} = \widehat{ABH}\)
- Ta sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác: nếu hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau, thì chúng đồng dạng.
- Từ đó, khi chứng minh độ lớn các góc tương ứng bằng nhau, ta có thể suy ra tỷ lệ tương ứng giữa các cạnh và \( \widehat{HDF} = \widehat{ABH}\).

### 3) Chứng minh \(AD = AC_H\) và \(\angle ABH = \angle ACH\)
- Để chứng minh \(AD = AC_H\), sử dụng tính chất của hình chiếu.
- Gọi \(C_H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AD\).
- Từ đó, \(AD\) là độ dài của đường cao, và \(AC_H\) cũng là độ dài 1 đoạn vuông góc từ \(A\) đến \(BC\).
- Về góc, có thể sử dụng tính chất góc trong tam giác để chứng minh hai góc bằng nhau.

### 4) Chứng minh \(H\) là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác \(DEF\)
- Để thực hiện điều này, chứng minh rằng \(H\) nằm trên ba đường phân giác của tam giác \(DEF\).
- Sử dụng các tính chất đối xứng và tỷ lệ cạnh trong tam giác \(DEF\) vào việc xác định vị trí của \(H\).

Tổng quát, việc chứng minh các phần này thường cần sự kết hợp nhiều hệ quả từ các định lý hình học và tỉ lệ trong tam giác.