Để tìm số dư của \( T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303} \) khi chia cho 7, trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng \( T \) là tổng của các số mũ lẻ từ 1 đến 303.

### Bước 1: Biểu diễn tổng
Có thể viết lại tổng như sau:
\[
T = \sum_{k=0}^{151} 2^{2k+1}
\]
vì các số mũ sẽ là \( 1, 3, 5, \ldots, 303 \) tương đương với \( 2k+1 \) với \( k \) chạy từ 0 đến 151.

### Bước 2: Rút gọn tổng
Ta có thể viết lại:
\[
T = 2^1 + 2^3 + 2^5 + \ldots + 2^{303} = 2 \cdot (2^0 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{302})
\]
Bây giờ chúng ta cần tính tổng \( 2^0 + 2^2 + 2^4 + \ldots + 2^{302} \), đây là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( 2^0 = 1 \) và tỷ số là \( 2^2 = 4 \).

### Bước 3: Tính số hạng
Số hạng của dãy này là từ \( 2^0 \) đến \( 2^{302} \), tức là có \( 152 \) số hạng (vì \( 0, 2, 4, \ldots, 302 \) là các số hạng). Cấp số nhân có số hạng là:
\[
S = 1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^{151}
\]
Tổng của cấp số nhân này là:
\[
S = \frac{4^{152} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{152} - 1}{3}
\]

### Bước 4: Tính giá trị của \( T \)
Bây giờ thay vào biểu thức của \( T \):
\[
T = 2 \cdot \frac{4^{152} - 1}{3} = \frac{2(4^{152} - 1)}{3}
\]

### Bước 5: Tính \( T \mod 7 \)
Đầu tiên, chúng ta cần tìm \( 4^{152} \mod 7 \). Sử dụng định lý nhỏ Fermat, ta có:
\[
4^6 \equiv 1 \mod 7
\]
Vì vậy:
\[
152 \mod 6 = 4 \quad (\text{vì } 152 = 6 \times 25 + 2)
\]
Do đó, ta có:
\[
4^{152} \equiv 4^4 \mod 7
\]
Tính \( 4^4 \mod 7 \):
\[
4^2 = 16 \equiv 2 \mod 7
\]
\[
4^4 = (4^2)^2 \equiv 2^2 = 4 \mod 7
\]
Vậy
\[
4^{152} \equiv 4 \mod 7
\]
Do đó:
\[
T \equiv \frac{2(4 - 1)}{3} \mod 7
\]
Tính tiếp:
\[
T \equiv \frac{2 \cdot 3}{3} \equiv 2 \mod 7
\]

### Kết luận
Số dư khi chia \( T \) cho 7 là \( \boxed{2} \).