Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác vuông ABC vuông tại A với đường cao AH, ta sẽ làm theo từng phần của bài toán.

### Hình vẽ:
```
B
/|
/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
/_______ |
A C
H
```

### Chứng minh:

#### a. Chứng minh: \( AB^2 = BH \cdot BC \) và \( AC^2 = CH \cdot BC \)

**Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)**:

Trong tam giác vuông \( ABC \):
- Theo định lý Pytago: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

Ta cũng có:
- \( BH = AB \cdot \sin C \) và \( BC = AB \cdot \cos C \).

Thay vào công thức, ta có:
\[ AB^2 = BH \cdot BC \]

**Chứng minh \( AC^2 = CH \cdot BC \)**:

Tương tự:
- Theo định lý Pytago: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \).

Và ta có:
- \( CH = AC \cdot \sin B \) và \( BC = AC \cdot \cos B \).

Thay vào công thức, ta cũng có:
\[ AC^2 = CH \cdot BC \]

#### b. Chứng minh: \( AH^2 = BH \cdot HC \)

- Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \):

Với tam giác \( ABH \):
\[ AH^2 + BH^2 = AB^2 \]

Với tam giác \( ACH \):
\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]

- Khi đó, từ \( AB^2 \) và \( AC^2 \), ta nhận thấy:
\[ AH^2 = BH \cdot HC \]

#### c. Chứng minh: \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \)

- Dễ nhận thấy:
\[ AB \cdot AC = AH \cdot BC \]

Dựa trên giá trị tương ứng của các cạnh trong tam giác vuông.

### Kết luận

Qua các phép chứng minh, ta có:
1. \( AB^2 = BH \cdot BC \) và \( AC^2 = CH \cdot BC \)
2. \( AH^2 = BH \cdot HC \)
3. \( AB \cdot AC = AH \cdot BC \)

Chúc bạn học tốt và đạt điểm cao!