Để tính tổng sau:

\[
-1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2016}
\]

ta có thể tách ra như sau:

\[
= -1 + \sum_{k=1}^{2016} 2^k
\]

Tổng \(\sum_{k=1}^{2016} 2^k\) là một tổng hình học với \(a = 2\) (số hạng đầu) và \(r = 2\) (tỉ số). Số hạng cuối là \(2^{2016}\), và số hạng có trong tổng là \(2016\).

Công thức tổng của một dãy số hình học là:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Áp dụng vào trường hợp này:

- \(a = 2\)
- \(r = 2\)
- \(n = 2016\)

Từ đó, ta có:

\[
\sum_{k=1}^{2016} 2^k = 2 \frac{2^{2016} - 1}{2 - 1} = 2 (2^{2016} - 1) = 2^{2017} - 2
\]

Bây giờ chúng ta thay vào biểu thức tổng ban đầu:

\[
-1 + (2^{2017} - 2) = 2^{2017} - 3
\]

Cuối cùng, tổng \( -1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2016}\) được thu gọn thành:

\[
\boxed{2^{2017} - 3}
\]