Để chứng minh các mệnh đề trong bài toán, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Chứng minh AM = MH = MAH:**
- Trong tam giác vuông AMH (A, M là hai điểm thuộc đoạn thẳng AB), ta có ∠AMH = 90°. Do đó, AM < AH và MH < AH. Từ đó suy ra AMH là đường cao, nên AH = AM + MH.

2. **Chứng minh AN = AC - AB:**
- Trong tam giác vuông ANH, với ∠ANH = 90° và H thuộc BC, ta có AN là đoạn thẳng nối từ A đến điểm N trên cạnh AC. Suy ra AN + NC = AC. Do đó, AN = AC - AB.

3. **Vẽ đường thẳng BD cắt AH tại E:**
- Vẽ một đường thẳng BD song song với AB cắt AH tại điểm E. Theo định lý về đường trung bình, đoạn thẳng này sẽ chia đôi đoạn AH. Vậy, điểm E sẽ ở giữa hai đoạn thẳng tương ứng.

4. **Chứng minh ARF = ARC:**
- Sử dụng tính chất của các tam giác vuông với các cạnh tương ứng, từ đó có thể chứng minh ARF = ARC bằng cách áp dụng định lý Pythagore và các tỉ lệ trong tam giác.

Nếu cần thêm chi tiết hoặc giải thích cụ thể về từng phần, hãy cho tôi biết nhé!