Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9\sqrt{x} \) với \( A \) được cho như sau:

\[
A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

Trước tiên, chúng ta cần rút gọn biểu thức \( A \).

### Bước 1: Rút gọn biểu thức A
Ta có:

\[
A = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

Biểu thức này không cần rút gọn thêm nữa, nhưng ta cần xét giá trị của \( A \).

### Bước 2: Xét giới hạn của \( A \)
Biểu thức này có thể được phân tích theo \( \sqrt{x} \):

- Khi \( \sqrt{x} \to 1 \), ta có \( A \to 0 \).
- Khi \( \sqrt{x} \to 0 \), ta có \( A \to -1 \).
- Khi \( \sqrt{x} \to +\infty \), ta có \( A \to 1 \).

### Bước 3: Tính P
Ta thấy rằng:

\[
P = A - 9\sqrt{x}
\]

Bây giờ, thay \( A \) vào thì được:

\[
P = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} - 9\sqrt{x}
\]

### Bước 4: Tìm giá trị cực trị
Tính \( P \):

\[
P = \frac{\sqrt{x} - 1 - 9\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1}
\]

\[
P = \frac{\sqrt{x} - 1 - 9x - 9\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
\]

\[
P = \frac{-8\sqrt{x} - 9x - 1}{\sqrt{x} + 1}
\]

Để tìm cực trị, ta có thể tính đạo hàm và tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu.

### Bước 5: Tính đạo hàm
Gọi \( u = -8\sqrt{x} - 9x - 1 \) và \( v = \sqrt{x} + 1 \). Áp dụng quy tắc đạo hàm thương:

\[
P' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

Tuy nhiên, đồ thị của biểu thức là phức tạp hơn để xử lý mà không có máy tính, nhưng có thể thấy rằng giá trị lớn nhất đạt được khi \( x \) ở một giới hạn nhất định.

### Kết luận:
Sau khi phân tích và thử nghiệm với các giá trị của \( \sqrt{x} \):

- Giá trị lớn nhất của \( P \) sẽ gần với 1, nhưng có thể không đạt chính xác do sự âm tính của phần \( -9\sqrt{x} \).
- Sự lớn nhất đạt được tại các giới hạn với các giá trị \( x \).

Để tìm chính xác, có thể sử dụng phương pháp số hoặc đồ thị trong một số trường hợp.