Tìm số tự nhiên n để các phép chia sau là phép chia hết

Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho các phép chia là phép chia hết, ta thực hiện từng phần.

### a)
Phép chia:
\[
\left(\frac{1}{2} x^5 y^{7-n}\right) \cdot \left(-2x^3 y^3\right)
\]
Ta tính tích:
\[
= \left(-1\right) \cdot x^{5+3} \cdot y^{(7-n) + 3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2
= -x^8 y^{10 - n}
\]
Ta cần chia cho \( -1 x^3 y^n \):
\[
\frac{-x^8 y^{10-n}}{-x^3 y^n} = x^{8-3} y^{10-n-n} = x^5 y^{10-2n}
\]
Để phép chia là phép chia hết, các số mũ phải không âm:
1. \( 5 \geq 0 \) (luôn đúng).
2. \( 10 - 2n \geq 0 \) ⇒ \( 10 \geq 2n \) ⇒ \( 5 \geq n \).

Vậy \( n \) có thể là \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).

### b)
Phép chia:
\[
(2x^{n-1} y^7 + 6x^{n+1} y^8) \cdot \left(\frac{1}{2} x^3 y^{n}\right)
\]
Tính tích từng thành phần:
\[
= (x^{n-1} y^7 + 3 x^{n+1} y^8) \cdot (x^3 y^n) = x^{n-1+3} y^{7+n} + 3 x^{n+1+3} y^{8+n}
\]
\[
= x^{n+2} y^{7+n} + 3 x^{n+4} y^{8+n}
\]
Giờ ta cần chia cho \( \frac{1}{2} x^3 y^{2n} \):
\[
\frac{x^{n+2} y^{7+n} + 3x^{n+4} y^{8+n}}{\frac{1}{2} x^3 y^{2n}} = 2 \left( x^{n-1} y^{(7+n)-2n} + 3 x^{n+1} y^{(8+n)-2n} \right)
\]
\[
= 2 \left( x^{n-1} y^{7-n} + 3 x^{n+1} y^{8-n} \right)
\]
Cần điều kiện:
1. \( n-1 \geq 0 \) ⇒ \( n \geq 1 \).
2. \( 7-n \geq 0 \) ⇒ \( n \leq 7 \).
3. \( n+1 \geq 0 \) (luôn đúng).
4. \( 8-n \geq 0 \) ⇒ \( n \leq 8 \) (luôn đúng).

Tóm lại cho b), \( 1 \leq n \leq 7 \) nên \( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).

### Kết luận:
- **Phần a:** \( n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
- **Phần b:** \( n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \).