Trong không gian; cho hai vecto a và b có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vecto là 45 độ. Chứng minh rằng

Để chứng minh các kết quả đã cho, ta sử dụng những thông tin đã có:

1. **Độ dài của vecto** \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) đều bằng 1:
\[ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \]

2. **Góc giữa hai vecto** \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) là 45 độ.
Sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vecto:
\[
\cos(45^\circ) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(45^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

### Chứng minh các kết quả:

**a)** \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 2 + \sqrt{2} \)

Áp dụng công thức tính độ dài:
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} + 2\vec{a} \cdot \vec{b}
\]

Thay các giá trị đã biết:
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}
\]

**b)** \( |\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2 - \sqrt{2} \)

Tương tự như trên:
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b}
\]

Thay các giá trị đã biết:
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}
\]

Vậy cả hai kết quả đã được chứng minh là đúng.