Trong không gian, cho hai véc-tơ

Để giải bài toán này, ta có hai véc-tơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) có cùng độ dài bằng 1, và góc giữa chúng là \(45^\circ\).

1. **Tính độ dài tổng và hiệu của hai véc-tơ**:
- Ta có:
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(45^\circ)
\]
Vì \( |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 \), ta có:
\[
|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 + \sqrt{2}
\]
Do đó,
\[
|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{2 + \sqrt{2}}
\]

2. **Tương tự với hiệu**:
- Đối với hiệu \(\vec{a} - \vec{b}\):
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos(45^\circ)
\]
\[
|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 + 1 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 - \sqrt{2}
\]
Do đó,
\[
|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2 - \sqrt{2}}
\]

3. **Giải các phần c, d**:
- \( c) \ |\vec{a} + \vec{b}| = 2 + \sqrt{2} \): Hệ quả là không chính xác (kết quả thực tế là \(\sqrt{2 + \sqrt{2}}\)) nên bạn có thể điều chỉnh lại yêu cầu.
- \( d) \ |\vec{a} - \sqrt{2}\vec{b}| = 0 \): Điều này xảy ra khi \(\vec{a} = \sqrt{2}\vec{b}\), tức là \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) phải cùng phương.

Hy vọng cách giải này hữu ích cho bạn!