Cho M là điểm cố định và P là điểm di động trong mặt phẳng chứa đường thẳng MA. Chứng minh rằng: MA * MC = MB * MD

Để chứng minh mệnh đề \( MA \cdot MC = MB \cdot MD \), ta sẽ sử dụng định lý liên hệ giữa các đoạn thẳng và đường tròn.

### Giả thiết
- \( M \) là một điểm cố định.
- \( P \) là một điểm di động trong mặt phẳng.
- \( A, B, C, D \) là các điểm trên mặt phẳng sao cho \( MA \) là đường thẳng và \( M \) nằm bên ngoài đường tròn có đường kính \( AB \) và \( CD \).

### Chứng minh
1. **Xét hai tam giác \( \triangle MAB \) và \( \triangle MCD \)**:
- Vì \( MA \) và \( MB \) thuộc cùng một đường thẳng và \( MC \) và \( MD \) cũng thuộc một đường thẳng nên ta có:
\[
\angle MAB = \angle MCD
\]
(cùng góc).

2. **Áp dụng Định lý Sin**:
- Trong tam giác \( \triangle MAB \):
\[
\frac{MA}{\sin \angle MAB} = \frac{MB}{\sin \angle MBA}
\]
- Trong tam giác \( \triangle MCD \):
\[
\frac{MC}{\sin \angle MCD} = \frac{MD}{\sin \angle MCD}
\]

3. **Từ đó, ta có tỉ số**:
\[
\frac{MA}{MB} = \frac{MC}{MD}
\]

4. **Nhân chéo**:
\[
MA \cdot MD = MB \cdot MC
\]

5. **Sắp xếp lại**:
\[
MA \cdot MC = MB \cdot MD
\]

### Kết luận
Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MA \cdot MC = MB \cdot MD \).