Để giải bài toán này, ta có thể đặt \( a \) và \( b \) theo dạng sau:

Giả sử \( a = \frac{p}{q} \) và \( b = \frac{r}{s} \), trong đó \( p, q, r, s \) là các số nguyên và \( q, s \neq 0 \).

Ta có:

\[
a + \frac{1}{b} = \frac{p}{q} + \frac{s}{r} = \frac{pr + qs}{qr}
\]

Vì \( a + \frac{1}{b} \) là số nguyên, nên \( qr \) phải chia hết cho \( pr + qs \).

Tương tự, với \( b + \frac{1}{a} \), ta cũng có:

\[
b + \frac{1}{a} = \frac{r}{s} + \frac{q}{p} = \frac{rp + qs}{sp}
\]

Tương tự, vì \( b + \frac{1}{a} \) là số nguyên, nên \( sp \) phải chia hết cho \( rp + qs \).

Giờ ta có hai điều kiện:

1. \( qr \) chia hết cho \( pr + qs \)
2. \( sp \) chia hết cho \( rp + qs \)

Để khai thác giải pháp, hãy thử một số giá trị đơn giản cho \( a \) và \( b \).

### Ví dụ

1. **Giá trị đơn giản**:
- Giả sử \( a = 1, b = 1 \):
- \( 1 + \frac{1}{1} = 2 \) (nguyên)
- \( 1 + \frac{1}{1} = 2 \) (nguyên)

2. **Giải phương trình**:
- Từ điều kiện có thể cho rằng \( a + 1/b \) và \( b + 1/a \) có thể nhận giá trị nguyên nếu \( a \) và \( b \) là số hữu tỉ dạng \( \frac{m}{n} \) với \( m, n \in \mathbb{Z} \).

Phân tích sâu hơn có thể đưa đến những phương trình cụ thể hoặc các giá trị khác.

### Kết luận

Các giá trị hữu tỉ \( a, b \) có thể tìm được qua các thử nghiệm, hoặc bạn có thể dùng các phương pháp đại số để giải hệ phương trình. Một số kết quả:

- \( (a, b) = (1, 1) \) là một cặp thỏa mãn.
- Bạn có thể tìm kiếm thêm các cặp khác bằng cách thử nghiệm với các số nguyên khác nhau hoặc thông qua các biểu thức chính xác.