Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( x^3 - y^3 = 7 \), ta có thể áp dụng công thức phân tích hiệu của hai lập phương:

\[
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
\]

Từ đó, ta có:

\[
(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7
\]

Vì \( 7 \) là một số nguyên dương, nên \( x - y \) và \( x^2 + xy + y^2 \) phải là các ước số của \( 7 \). Các ước số của \( 7 \) là \( 1, 7, -1, -7 \).

### Xét từng trường hợp về \( x - y \):

1. **Trường hợp 1: \( x - y = 1 \)**

Thay vào phương trình, ta có:
\[
1 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7 \implies x^2 + xy + y^2 = 7
\]
Từ \( x - y = 1 \), ta có \( x = y + 1 \). Thay vào phương trình:
\[
(y + 1)^2 + (y + 1)y + y^2 = 7
\]
\[
y^2 + 2y + 1 + y^2 + y + y^2 = 7 \implies 3y^2 + 3y + 1 = 7
\]
\[
3y^2 + 3y - 6 = 0 \implies y^2 + y - 2 = 0
\]
Phương trình này có thể phân tích:
\[
(y - 1)(y + 2) = 0
\]
Vậy \( y = 1 \) hoặc \( y = -2 \).
- Nếu \( y = 1 \), thì \( x = y + 1 = 2 \).
- Nếu \( y = -2 \), thì \( x = y + 1 = -1 \).

Ta có hai cặp nghiệm: \( (2, 1) \) và \( (-1, -2) \).

2. **Trường hợp 2: \( x - y = 7 \)**

Thay vào phương trình:
\[
7 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7 \implies x^2 + xy + y^2 = 1
\]
Từ \( x - y = 7 \), ta có \( x = y + 7 \). Thay vào phương trình:
\[
(y + 7)^2 + (y + 7)y + y^2 = 1
\]
\[
y^2 + 14y + 49 + y^2 + 7y + y^2 = 1 \implies 3y^2 + 21y + 49 = 1
\]
\[
3y^2 + 21y + 48 = 0
\]
Để giải phương trình này, ta dùng công thức nghiệm:
\[
\Delta = 21^2 - 4 \cdot 3 \cdot 48 = 441 - 576 < 0
\]
Vậy không có nghiệm nguyên trong trường hợp này.

3. **Trường hợp 3: \( x - y = -1 \)**

Tương tự, ta có:
\[
-1 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7 \implies x^2 + xy + y^2 = -7
\]
Không thể có được các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều này.

4. **Trường hợp 4: \( x - y = -7 \)**

Tương tự, ta có:
\[
-7 \cdot (x^2 + xy + y^2) = 7 \implies x^2 + xy + y^2 = -1
\]
Không thể có được các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều này.

### Kết luận
Từ các trường hợp trên, các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình \( x^3 - y^3 = 7 \) là:
\[
(2, 1) \text{ và } (-1, -2)
\]