Để giải bài tập này, ta sẽ làm từng phần:

### a) Tính giá trị của biểu thức

Biểu thức \( A = 1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2022} \).

Đây là một tổng số hạng hình học. Ta có thể viết lại \( A \) như sau:

\[
A = \sum_{n=0}^{2022} 2^n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + \ldots + 2^{2022}
\]

Công thức tổng của một cấp số nhân là:

\[
S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

với \( a = 1 \), \( r = 2 \) và \( n = 2023 \) (vì số hạng đầu là \( 2^0 \) và số hạng cuối là \( 2^{2022} \)):

\[
A = 1 \cdot \frac{1 - 2^{2023}}{1 - 2} = \frac{1 - 2^{2023}}{-1} = 2^{2023} - 1
\]

Vậy giá trị của biểu thức \( A = 2^{2023} - 1 \).

### b) Chia số cho các số dư

Ta cần tìm số \( x \) thỏa mãn các điều kiện:

\[
x \equiv 3 \mod 7
\]
\[
x \equiv 12 \mod 17
\]
\[
x \equiv 7 \mod 23
\]

Để làm điều này, ta sử dụng phương pháp đồng dư bậc 2.

**1. Giải hai phương trình đầu tiên:**

Từ \( x \equiv 3 \mod 7 \):

Gọi \( x = 7k + 3 \), thế vào phương trình thứ hai:

\[
7k + 3 \equiv 12 \mod 17 \Rightarrow 7k \equiv 9 \mod 17
\]

Giải phương trình trên. Tìm nghịch đảo của \( 7 \mod 17\). Sử dụng thuật toán Euclid, ta tìm được \( 7^{-1} \equiv 5 \mod 17\).

Nhân cả hai bên với \( 5 \):

\[
k \equiv 5 \cdot 9 \mod 17 \Rightarrow k \equiv 45 \mod 17 \Rightarrow k \equiv 11 \mod 17
\]

Vậy, \( k = 17m + 11 \). Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 7(17m + 11) + 3 = 119m + 80
\]

**2. Thay vào phương trình thứ ba:**

Giờ ta có:

\[
119m + 80 \equiv 7 \mod 23
\]

Giải tương tự, ta tính \( 119 \mod 23 \):

\[
119 \div 23 = 5 \quad \Rightarrow \quad 119 \equiv 4 \mod 23
\]

Vậy ta giải:

\[
4m + 80 \equiv 7 \mod 23 \Rightarrow 4m \equiv -73 \mod 23 \Rightarrow 4m \equiv 18 \mod 23
\]

Tìm nghịch đảo của \( 4 \mod 23\) (tìm được \( 4^{-1} \equiv 6 \mod 23\)).

Nhân cả hai bên với \( 6 \):

\[
m \equiv 6 \cdot 18 \mod 23 \Rightarrow m \equiv 108 \mod 23 \Rightarrow m \equiv 16 \mod 23
\]

Vậy, \( m = 23n + 16 \).

**3. Tính \( x \):**

Thay vào biểu thức của \( x \):

\[
x = 119(23n + 16) + 80 = 2737n + 1924 + 80 = 2737n + 2004
\]

Vậy \( x \equiv 2004 \mod 2737\).

### Kết luận:

1. Giá trị của \( A = 2^{2023} - 1 \).
2. Số \( x \) chia cho 2737 dư 2004.