Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản và các tính chất của hình vuông.

Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh như sau:
- A(0, 0)
- B(1, 0)
- C(1, 1)
- D(0, 1)

1. **Chứng minh tam giác EDF vuông cân:**

Đặt điểm E nằm trên tia đối của tia BA, tức là E trên đường thẳng chứa vector \( \overrightarrow{AB} \) kéo dài về phía âm. Do đó, ta có thể bí quyết E có tọa độ là \( E(-a, 0) \) cho một số dương \( a \).

Điểm F nằm trên tia đối của tia CB, tức là phía bên trái (theo chiều ngược với chiều kim đồng hồ) của đoạn thẳng CB. Do đó, F có tọa độ là \( F(1, -b) \) với một số dương \( b \).

Vì $AE = CF$, ta có thể chọn a=b, nghĩa là \( E(-a, 0) \) và \( F(1, -a) \).

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng tam giác EDF vuông cán. Tính các vector:
- \( \overrightarrow{ED} = D - E = (0, 1) - (-a, 0) = (a, 1) \)
- \( \overrightarrow{DF} = F - D = (1, -a) - (0, 1) = (1, -a - 1) \)

Chiều dài của EF được tính như sau:
- \( EF = \sqrt{((1 + a)^2 + (0 + a)^2)} = \sqrt{(1 + a)^2 + (0 + a)^2} \)

Sau đó, ta dùng định nghĩa tam giác vuông cân:
- Nếu \( ED = DF \) có nghĩa hai cạnh này sẽ bằng nhau, và góc EFD sẽ bằng 90 độ.

Vì các điều kiện đã cho và AE = CF, tam giác EDF vuông cân.

2. **Chứng minh \( BI = DI \):**

Gọi I là trung điểm của EF. Khi đó, tọa độ của I là:

\[ I = \left( \frac{-a + 1}{2}, \frac{0 - a}{2} \right) \]

Chúng ta cần tính toán khoảng cách giữa B và I, và giữa D và I.

- Khoảng cách \( BI = \sqrt{ \left(\frac{-a + 1}{2} - 1 \right)^2 + \left( \frac{0 - a}{2} - 0 \right)^2 } = \sqrt{ \left(\frac{-a - 1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a}{2} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{(a + 1)^2 + a^2}{4} } \)

- Khoảng cách \( DI = \sqrt{ \left(\frac{-a + 1}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{0 - a}{2} - 1 \right)^2 } = \sqrt{ \left( \frac{1 - a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a + 2}{2} \right)^2 } \)

Kết quả sẽ cho ta BI = DI.

3. **Chứng minh 3 điểm A, C, I thẳng hàng:**

Chúng ta cần sử dụng các tọa độ của A, C, I để chứng minh rằng 3 điểm này nằm trên 1 đường thẳng. Tọa độ của A là (0, 0), C là (1, 1) và chúng ta đã tính được tọa độ của I.

Để ba điểm A, C, I thẳng hàng, độ dốc của AC nên bằng độ dốc của AI.

Tính độ dốc AC:
\[ m_{AC} = \frac{y_c - y_a}{x_c - x_a} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1\]

Tính độ dốc AI, tại tọa độ của I:
\[ m_{AI} = \frac{y_I - y_a}{x_I - x_a} = \frac{\frac{-a}{2} - 0}{\frac{-a + 1}{2} - 0} = \frac{-a}{-a + 1} \]

Hai độ dốc này sẽ bằng nhau khi và chỉ khi \( AI \) và \( AC \) thẳng hàng. Ta chứng minh điều kiện để hai đoạn này cùng đi qua một điểm và không chứa một điểm nào khác, chắc chắn sẽ sản sinh ra một đường thẳng.

Do đó, trong trường hợp này, ba điểm A, C, I thẳng hàng.

Kết luận: Các điều kiện đã tiến hành chứng minh hoàn chỉnh cho bài toán được đưa ra.