Để giải bài toán \( x^3 + x^2 + x + 1 = y^3 \) với \( x, y \in \mathbb{Z} \), chúng ta có thể biến đổi phương trình trên.

Đầu tiên, ta phân tích vế trái:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = (x^3 + 1) + (x^2 + x) = (x+1)(x^2 - x + 1) + (x^2 + x)
\]

Tuy nhiên, để giải quyết vấn đề này một cách dễ dàng hơn, ta sẽ ghi lại dưới dạng:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = y^3
\]

Ta có thể viết lại vế trái như sau:

\[
x^3 + x^2 + x + 1 = x^3 + (x^2 + x + 1)
\]

Phương trình trở thành:

\[
y^3 = x^3 + x^2 + x + 1
\]

Bước tiếp theo, ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) để tìm các nghiệm khả thi.

1. **Kiểm tra một số giá trị nhỏ:**
- Với \( x = 0 \):
\[
y^3 = 0^3 + 0^2 + 0 + 1 = 1 \Rightarrow y = 1
\]
Nghiệm: \( (x, y) = (0, 1) \)

- Với \( x = 1 \):
\[
y^3 = 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 4 \Rightarrow y = \sqrt[3]{4} \quad \text{(không phải là nguyên)}
\]

- Với \( x = -1 \):
\[
y^3 = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0 \Rightarrow y = 0
\]
Nghiệm: \( (x, y) = (-1, 0) \)

- Với \( x = 2 \):
\[
y^3 = 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 \Rightarrow y = \sqrt[3]{15} \quad \text{(không phải là nguyên)}
\]

- Với \( x = -2 \):
\[
y^3 = (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 1 = -8 + 4 - 2 + 1 = -5 \Rightarrow y = \sqrt[3]{-5} \quad \text{(không phải là nguyên)}
\]

- Với \( x = 3 \):
\[
y^3 = 3^3 + 3^2 + 3 + 1 = 27 + 9 + 3 + 1 = 40 \Rightarrow y = \sqrt[3]{40} \quad \text{(không phải là nguyên)}
\]

- Với \( x = -3 \):
\[
y^3 = (-3)^3 + (-3)^2 + (-3) + 1 = -27 + 9 - 3 + 1 = -20 \Rightarrow y = \sqrt[3]{-20} \quad \text{(không phải là nguyên)}
\]

Từ các phép kiểm tra trên, chúng ta tìm được hai nghiệm nguyên khả thi:

- \( (x, y) = (0, 1) \)
- \( (x, y) = (-1, 0) \)

2. **Kết luận:**
Nghiệm duy nhất của phương trình \( x^3 + x^2 + x + 1 = y^3 \) với \( x, y \in \mathbb{Z} \) là:
\[
(x, y) = (0, 1) \quad \text{và} \quad (x, y) = (-1, 0)
\]