Để chứng minh rằng 4 điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Điều này có nghĩa là tổng các góc đối diện của tứ giác phải bằng 180 độ.

Trong hình chữ nhật, các góc tại mỗi đỉnh đều là 90 độ. Cụ thể:

- Góc A = 90 độ
- Góc B = 90 độ
- Góc C = 90 độ
- Góc D = 90 độ

Do đó, ta có:

- Góc A + Góc C = 90 độ + 90 độ = 180 độ
- Góc B + Góc D = 90 độ + 90 độ = 180 độ

Vì vậy, tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện của tứ giác nội tiếp, nên 4 điểm A, B, C, D thuộc một đường tròn.

Bây giờ, để tính bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D, ta có thể sử dụng công thức:

\[
R = \frac{d}{2}
\]

Trong đó \(d\) là đường chéo của hình chữ nhật. Với các cạnh AB = 12 cm và BC = 5 cm, đường chéo AC (hoặc BD) có thể tính bằng định lý Pythagore:

\[
d = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

Vậy bán kính R của đường tròn là:

\[
R = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ cm}
\]

**Kết luận:** 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, và bán kính của đường tròn đó là 6.5 cm.