Chứng minh tứ giác MNCD là hình thoi. Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang cân

Chúng ta sẽ tiến hành chứng minh các phần của bài toán theo từng yêu cầu.

### a) Chứng minh tứ giác MNCD là hình thoi

Ta có tứ giác MNCD với:
- M là trung điểm của đoạn AD
- N là trung điểm của đoạn BC

Xét hình bình hành ABCD có các tính chất:
- AD // BC và AB // CD.
- AB = CD và AD = BC.

Bởi vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AD\) và \(BC\), ta có:
- \(AM = MD\)
- \(BN = NC\)

Để chứng minh MNCD là hình thoi, ta cần chứng minh 4 cạnh MN, NC, CD và DM bằng nhau.

Ta tính độ dài các đoạn:

1. **Tính độ dài đoạn \(MN\)**:
\[
MN = \frac{1}{2} (BC + AD) \quad \text{(theo định nghĩa trung điểm)}
\]
Trong đó ta sử dụng tính chất của hình bình hành, ta có \(BC = AD\). Vậy:
\[
MN = \frac{1}{2} (AD + AD) = AD
\]

2. **Tính độ dài đoạn \(CN\)**:
\[
CN = \frac{1}{2} (AB + CD) = \frac{1}{2} (CD + CD) = CD
\]

3. **Tính độ dài đoạn \(DM\)**:
Tương tự, ta có:
\[
DM = \frac{1}{2} (DC + AB) = AB
\]
Từ hình bình hành, ta cũng có \(AB = CD\).

4. **Cạnh CD**:
Từ định nghĩa hình bình hành, cạnh CD là:
\[
CD = AB
\]

Vì vậy:
\[
MN = DM = CN = CD
\]

Suy ra tứ giác \(MNCD\) có 4 cạnh bằng nhau, tức là \(MNCD\) là hình thoi.

### b) Chứng minh tứ giác ABMN là hình thang cân

Để chứng minh tứ giác ABMN là hình thang cân, ta cần chứng minh 2 cạnh \(AB\) và \(MN\) song song và bằng nhau.

1. **Chứng minh \(AB || MN\)**:
Bởi vì \(M\) là trung điểm của \(AD\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\) trong hình bình hành ABCD:
\[
AD || BC \Rightarrow AB || MN
\]

2. **Chứng minh \(AB = MN\)**:
Từ phần a), ta đã chứng minh rằng:
\[
MN = AB
\]

Vậy, tứ giác \(ABMN\) là hình thang cân do \(AB || MN\) và \(AB = MN\).

### c) Chứng minh \(AM, BD, KN\) đồng quy

Để chứng minh 3 đoạn thẳng \(AM\), \(BD\) và \(KN\) đồng quy, ta sử dụng tính chất của hình bình hành và trung điểm:

- **Gọi \(K\) là giao điểm của \(AB\) và \(DM\)**.
- Đoạn thẳng \(KN\) nối điểm \(K\) với điểm \(N\).

Từ câu a) đã cho rằng \(M\) và \(N\) là trung điểm của các cạnh, ta có cách dựng đường thẳng từ các điểm cách đều:
1. **AM** và \(BD\) là các đoạn thẳng trong hình bình hành.
2. Sử dụng định lý Menelaus trong tam giác \(ABD\) với các điểm \(M, K, N\). Lúc này:
- \(M\) là trung điểm của \(AD\)
- \(N\) là trung điểm của \(BC\)
- \(K\) thuộc đường thẳng \(AB\).

Như vậy, có:
\[
\frac{AM}{MD} \cdot \frac{DK}{KA} \cdot \frac{BN}{NC} = 1
\]
tương ứng cho mỗi đoạn được chia.

Từ đó, theo định lý này ta kết luận rằng \(AM\), \(BD\) và \(KN\) đồng quy tại một điểm.

### Kết luận
Chúng ta đã chứng minh thành công:
- Tứ giác \(MNCD\) là hình thoi.
- Tứ giác \(ABMN\) là hình thang cân.
- Các đoạn thẳng \(AM\), \(BD\), và \(KN\) đồng quy.