Để tính độ dài trung đoạn của hình chóp, ta bắt đầu với hình chóp có đáy là tứ giác đều (ABCD) với các cạnh đều dài 20 cm. Chóp có đỉnh là A.

### Bước 1: Tính độ dài trung đoạn của hình chóp

Đường cao của hình chóp là đoạn thẳng từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy (tứ giác ABCD). Để tính độ dài trung đoạn này, trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm trong không gian.

Giả sử:
- Tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng với:
- A(0, 0, h)
- B(10, 10, 0)
- C(10, -10, 0)
- D(-10, -10, 0)

### Bước 2: Tính chiều cao h

Chu vi của tứ giác ABCD sẽ là:

\[
AC = \sqrt{(10 - 0)^2 + (-10 - 0)^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}
\]

Chiều cao h của hình chóp tính từ các đường chéo xuống mặt đáy sẽ là:

\[
h = \sqrt{(20)^2 - \left(\frac{AC}{2}\right)^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}
\]

### Bước 3: Độ dài trung đoạn

Để tính độ dài trung đoạn \(O\), ta sử dụng công thức:

\[
O = \frac{1}{3}\sqrt{h^2 + r^2}
\]

Trong đó \(r\) là bán kính của mặt đáy. Bán kính tính từ O (trung điểm của AC) đến một trong các đỉnh A, B, C, D sẽ là:

\[
r = 10
\]

Khi đó:

\[
O = \frac{1}{3} \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 10^2} = \frac{1}{3} \sqrt{300 + 100} = \frac{1}{3} \sqrt{400} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \text{ cm}
\]

### Kết luận

Độ dài trung đoạn của hình chóp là khoảng \(6.67 \text{ cm}\).