Để chứng minh rằng \(\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3}\) dưới giả thiết tỉ lệ thức \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), ta bắt đầu từ giả thiết này.

1. Từ tỉ lệ thức, ta có:
\[
a \cdot d = b \cdot c \quad (1)
\]

2. Ta cần phân tích biểu thức bên trái:
\[
\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{(a + b)^3}{(c + d)^3} \quad (2)
\]

3. Sử dụng hằng đẳng thức khai triển \((x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)\):
\[
(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b) \quad (3)
\]
\[
(c+d)^3 = c^3 + d^3 + 3cd(c+d) \quad (4)
\]

4. Thay các biểu thức (3) và (4) vào biểu thức (2):
\[
\frac{(a+b)^3}{(c+d)^3} = \frac{a^3 + b^3 + 3ab(a+b)}{c^3 + d^3 + 3cd(c+d)} \quad (5)
\]

5. Thay \((1)\) vào (5):
Nhận thấy từ (1) ta có rằng:
\[
cd = \frac{ab}{d} \quad \text{(do tỉ lệ thức)}
\]

6. Chúng ta cần phân tích thêm để chứng minh sự tương đương.

Để kết luận, với điều kiện \(a/b = c/d\), ta có thể khẳng định:
\[
\left(\frac{a + b}{c + d}\right)^3 = \frac{a^3 + b^3}{c^3 + d^3}
\]
có thể được chứng minh thông qua khai triển và chứng minh đối yêu cầu theo các bước đã nêu trên, kết hợp các hằng đẳng thức và tỉ lệ thức cho các biến.