Chúng ta có tam giác ABC vuông cân tại A. Tức là AB = AC và góc A = 90 độ. Giả sử I là một điểm trên đoạn BC, và M, N lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng AI.

### Chứng minh:
**a. Góc ABM = góc CAN**
- Xét góc ABM: Do M là hình chiếu của B trên AI, nên góc ABM = góc BAI.
- Xét góc CAN: Do N là hình chiếu của C trên AI, nên góc CAN = góc CAI.
- Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nên góc BAI = góc CAI (góc A là góc vuông và góc BAI cùng với góc CAI là hai góc còn lại của tam giác vuông).
- Kết luận: Góc ABM = góc BAI = góc CAI = góc CAN.

**b. AM = CN**
- Ta có hình chiếu M của B lên AI và hình chiếu N của C lên AI.
- Do AI là đường thẳng vuông góc với cả hai đoạn BC và AI, nên AM = chiều cao từ B xuống AI và CN = chiều cao từ C xuống AI.
- Trong tam giác vuông cân ABC, đoạn AM và CN đều là chiều cao từ đỉnh B và C đến đường thẳng AI.
- Hơn nữa, vì tam giác ABC có tính đối xứng (AB = AC), nên AM = CN.

### Kết luận:
a. Góc ABM = góc CAN.
b. AM = CN.