Để tính độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều S.ABC, trước hết, chúng ta cần tính một số thông tin liên quan đến hình chóp này.

1. **Cạnh đáy:**
- Gọi độ dài cạnh đáy ABC là \( a \). Ta có \( a = 6 \).

2. **Diện tích xung quanh (DXXQ):**
- Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều được tính bằng công thức:
\[
DXXQ = \frac{3}{2} \cdot a \cdot h
\]
Ở đây, \( h \) là độ dài từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABC.

3. **Tính \( h \):**
- Ta biết rằng diện tích xung quanh của hình chóp là \( 59 \):
\[
59 = \frac{3}{2} \cdot 6 \cdot h
\]
- Giải phương trình này để tìm \( h \):
\[
59 = 9h \implies h = \frac{59}{9} \approx 6.56
\]

4. **Tính chiều cao của tam giác ABC:**
- Diện tích của tam giác đều ABC có thể tính bằng công thức:
\[
D_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}
\]

5. **Độ dài trung đoạn của tam giác đều ABC**:
- Độ dài trung đoạn (của tam giác nằm trong một hình chóp) được tính bằng công thức:
\[
\text{Độ dài trung đoạn} = \frac{h + h_{ABC}}{2}
\]
- Trong đó, \( h_{ABC} \) là chiều cao của tam giác ABC:
\[
h_{ABC} = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3}
\]

6. **Tính độ dài trung đoạn:**
\[
\text{Độ dài trung đoạn} = \frac{h + h_{ABC}}{2} = \frac{\frac{59}{9} + 3\sqrt{3}}{2}
\]

Cuối cùng, bạn có thể tính giá trị cụ thể cho độ dài trung đoạn dựa trên kết quả đã tìm được cho \( h \) và \( h_{ABC} \).

Như vậy, bạn sẽ tìm được độ dài trung đoạn của tam giác đều ABC trong hình chóp tam giác đều S.ABC.