Cho hình thang ABCD (AB//CD và AB < CD). Tia phân giác góc A và góc D cắt nhau tại E. Tia phân giác B và góc C cắt nhau tại F. Chứng minh tam giác EAD, tam giác FBC vuông

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác EAD, tam giác FBC vuông

1. **Góc EAD**: Do E là giao điểm của tia phân giác của góc A và góc D, và AB // CD (đặc biệt là AB < CD), ta có:
- Góc EAD = 1/2 góc A + 1/2 góc D = 1/2(∠A + ∠D).
- Vì AB // CD nên ∠A + ∠D = 180° (hai góc đồng vị).
- Vậy ∠EAD = 1/2 * 180° = 90°.

Do đó, tam giác EAD là tam giác vuông tại E.

2. **Góc FBC**: Tương tự, ta xét tia phân giác của góc B và góc C.
- Góc FBC = 1/2 góc B + 1/2 góc C.
- Vì AB // CD nên ∠B + ∠C = 180°.
- Vậy ∠FBC = 1/2 * 180° = 90°.

Do đó, tam giác FBC cũng là tam giác vuông tại F.

### b) Chứng minh tam giác DAP, tam giác CBQ cân

1. **Chứng minh tam giác DAP cân**:
- Tia AE cắt DC tại P, do đó, ∠DAB = ∠PAB (góc trong cùng thuộc hai đường thẳng cắt nhau).
- Cũng vì AE là tia phân giác của góc A, ta có ∠DAE = ∠EAP = x (gọi x là một góc).
- Do đó, ∠DAB = ∠DAE + ∠EAP = x + x = 2x.
- Tương tự khi xét góc ADE, ta cũng có ∠ADE = ∠DAE + ∠EAD => ∠ADE = x + 90° (do tam giác EAD vuông tại E).

Như vậy, trong tam giác DAP, hai góc ∠DAB và ∠DAP đều bằng nhau, từ đó ta có tam giác DAP cân.

2. **Chứng minh tam giác CBQ cân**: Tương tự như trên:
- Tia BF cắt DC tại Q, ta có ∠CBF = ∠QBF (góc trong cùng).
- Cũng vì BF là tia phân giác của góc B, ta có ∠CBF = ∠CBF + ∠FBQ => ∠CBF = y trong đó y là góc.
- Tương tự khi xét góc CBE, ta cũng có ∠CBE = ∠QBC = y + 90°.

Như vậy, trong tam giác CBQ, hai góc ∠CBF và ∠CBQ đều bằng nhau, từ đó tam giác CBQ cũng cân.

### c) Chứng minh ME // DC

1. **Cho M là trung điểm cạnh AD**.
- Khi M là trung điểm, ta có AM = MD.
- Vì AB // CD và AE cắt DC tạo thành những góc đồng vị.

2. **Hai đường thẳng EM và DC** sẽ có mối quan hệ như sau:
- Đường thẳng EM tạo với cạnh AD và CD (nhờ tính chất của góc phân giác), nghĩa là góc mà đường thẳng EM tạo với AD sẽ bằng góc mà đường thẳng DC tạo với AD.

3. Thực hiện phương pháp chứng minh góc:
- Xét hai góc ∠MAE và ∠MDE. Do M là trung điểm, hai góc này sẽ bằng nhau.

Kết luận từ các tính chất trên, từ đó ta chứng minh ME // DC bằng cách sử dụng định lý góc đồng vị.

Vậy, ta đã chứng minh các yêu cầu của bài toán.