Để tìm giá trị lớn nhất của phân số \( P = \frac{3n^2 + 20}{n^2 + 4} \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc xem xét giá trị của \( P \) tại các số tự nhiên.

1. **Tìm giá trị của P cho các n tự nhiên nhỏ**:

- Với \( n = 1 \):
\[
P = \frac{3(1^2) + 20}{(1^2) + 4} = \frac{3 + 20}{1 + 4} = \frac{23}{5} = 4.6
\]

- Với \( n = 2 \):
\[
P = \frac{3(2^2) + 20}{(2^2) + 4} = \frac{3 \times 4 + 20}{4 + 4} = \frac{12 + 20}{8} = \frac{32}{8} = 4
\]

- Với \( n = 3 \):
\[
P = \frac{3(3^2) + 20}{(3^2) + 4} = \frac{3 \times 9 + 20}{9 + 4} = \frac{27 + 20}{13} = \frac{47}{13} \approx 3.615
\]

- Với \( n = 4 \):
\[
P = \frac{3(4^2) + 20}{(4^2) + 4} = \frac{3 \times 16 + 20}{16 + 4} = \frac{48 + 20}{20} = \frac{68}{20} = 3.4
\]

- Với \( n = 5 \):
\[
P = \frac{3(5^2) + 20}{(5^2) + 4} = \frac{3 \times 25 + 20}{25 + 4} = \frac{75 + 20}{29} = \frac{95}{29} \approx 3.276
\]

2. **Tổng kết giá trị**:
Từ các phép tính trên, ta thấy rằng giá trị của \( P \) lớn nhất khi \( n = 1 \), cho giá trị \( P = 4.6 \).

Vì vậy, số tự nhiên \( n \) để phân số \( P \) có giá trị lớn nhất là:
\[
\boxed{1}
\]