Cho ΔABC có AB + BC + CA = 7; AB^2 + BC^2 + CA^2 = 17; AB * BC * CA = 12. Tính giá trị biểu thức N

Để tính giá trị biểu thức \( N \) trong bài toán trên, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho:

1. \( AB + BC + CA = 7 \)
2. \( AB^2 + BC^2 + CA^2 = 17 \)
3. \( AB \cdot BC \cdot CA = 12 \)

Gọi \( a = AB \), \( b = BC \), \( c = CA \). Từ đó, ta có:

- \( a + b + c = 7 \)
- \( a^2 + b^2 + c^2 = 17 \)
- \( abc = 12 \)

Ta cần tính giá trị của \( N \):

\[
N = \frac{1}{ab + ca - 6} + \frac{1}{bc + ab - 6} + \frac{1}{ca + bc - 6}
\]

Đầu tiên, ta tính \( ab + ca + bc \). Từ công thức:

\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)
\]

Ta có:

\[
7^2 = 17 + 2(ab + ac + bc)
\]
\[
49 = 17 + 2(ab + ac + bc)
\]
\[
32 = 2(ab + ac + bc)
\]
\[
ab + ac + bc = 16
\]

Vậy:

\[
ab + ca = 16 - bc, \quad bc + ab = 16 - ca, \quad ca + bc = 16 - ab
\]

Thay vào biểu thức \( N \):

\[
N = \frac{1}{(16 - bc) - 6} + \frac{1}{(16 - ca) - 6} + \frac{1}{(16 - ab) - 6}
\]

Cụ thể:

\[
= \frac{1}{10 - bc} + \frac{1}{10 - ca} + \frac{1}{10 - ab}
\]

Tiếp theo, ta cần tính \( ab, ac, bc \). Để giải được các giá trị này, ta sẽ sử dụng phương trình bậc ba với các nghiệm là \( a, b, c \):

\[
x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab + ac + bc)x - abc = 0
\]

Thay vào, ta có:

\[
x^3 - 7x^2 + 16x - 12 = 0
\]

Giải phương trình này để tìm các giá trị của \( a, b, c \). Thay nghiệm tìm được vào biểu thức \( N \) để có giá trị cuối cùng.

Sau khi giải phương trình, các giá trị \( a, b, c \) sẽ giúp chúng ta tính các phần tử trong \( N \) như đã mô tả, từ đó rút gọn và tìm ra giá trị của biểu thức.

Do không tiến hành bước giải phương trình bậc ba trong không gian này, nên bạn có thể sử dụng máy tính hoặc phần mềm để giải phương trình và sau đó tính giá trị của \( N \).

Kết luận, giá trị của \( N \) có thể tìm được từ các phép tính trên.