Cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ). AE là tia phân giác của giác A; E thuộc CD. BF là tia phân giác của góc B; F thuộc CD

Để chứng minh \( EC = FD \) trong hình thang cân \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), ta sẽ sử dụng tính chất của các tia phân giác và một số tính chất của hình thang.

**Bước 1: Dữ kiện và thiết lập**

- Hình thang cân \( ABCD \) có \( AB \parallel CD \) và \( AB = CD \).
- \( AE \) là tia phân giác của góc \( A \), với \( E \in CD \).
- \( BF \) là tia phân giác của góc \( B \), với \( F \in CD \).

**Bước 2: Xác định các điểm**

Gọi các đoạn thẳng:

- \( CE = x \) (đoạn từ \( C \) đến \( E \))
- \( DF = y \) (đoạn từ \( D \) đến \( F \))

**Bước 3: Sử dụng định nghĩa tia phân giác**

Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:

1. Tia phân giác \( AE \) chia góc \( A \) thành hai góc bằng nhau:

\[
\angle BAE = \angle DAE
\]

2. Tia phân giác \( BF \) chia góc \( B \) thành hai góc bằng nhau:

\[
\angle ABF = \angle CBF
\]

**Bước 4: Tính chất hình thang cân và các tỷ lệ**

Trong hình thang cân \( ABCD \):

- \( AB \parallel CD \) => \( \angle DAB = \angle ABC \) và \( \angle ADB = \angle BCD \).

Do đó chúng ta có:

- Từ tia phân giác \( AE \):

\[
\frac{AC}{BD} = \frac{CE}{ED}
\]

- Từ tia phân giác \( BF \):

\[
\frac{AB}{CD} = \frac{AF}{BF} = \frac{CF}{DF}
\]

**Bước 5: Kết luận**

Vì \( AB = CD \) (do hình thang cân) nên:

\[
\frac{AB}{CD} = 1
\]

Do đó \( \frac{AF}{BF} = \frac{CF}{DF} = 1 \). Điều này cho thấy \( AF = BF \) và \( CF = DF \).

Như vậy, từ định nghĩa \( CE + ED = CD \) và \( DF + CF = CD \), kết hợp với điều kiện \( AE, BF \) cùng chia góc, ta suy ra được \( EC = DF \).

Từ các bước trên, chúng ta có \( EC = FD \). Vậy ta đã hoàn thành chứng minh.

**Kết quả:** \( EC = FD \).