Để chứng minh rằng tứ giác BCIK là hình bình hành và CI vuông góc với AI, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước 1: Xác định vị trí của các điểm
1. Đặt các điểm như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(0, b) \)
- \( C(c, b) \)
- \( D(c, 0) \)
- Trong đó \( AD = 2BC \), do đó \( AD = 2*b \).

2. Suy ra:
- \( c = 2b \) (vì \( AD = c = 2BC = 2b \))

### Bước 2: Toạ độ điểm H
1. Để tìm điểm \( H \), trước tiên ta xác định phương trình đường thẳng \( BD \):
- \( B(0, b) \) và \( D(2b, 0) \) ⇒ Phương trình đường thẳng \( BD \) sẽ là:
\[
y = -\frac{b}{2b}(x - 2b) + 0 \implies y = -\frac{1}{2}x + b
\]

2. Bây giờ, kẻ đường thẳng vuông góc từ \( A \) tới đường \( BD \). Đường thẳng vuông góc sẽ có hệ số góc là \( 2 \):
- Phương trình đường thẳng đi qua \( A(0,0) \):
\[
y = 2x
\]

3. Tìm giao điểm giữa \( y = -\frac{1}{2}x + b \) và \( y = 2x \):
- Giải hệ phương trình:
\[
-\frac{1}{2}x + b = 2x \implies 2.5x = b \implies x = \frac{b}{2.5} = \frac{2b}{5}
\]
- Thay vào phương trình \( y = 2x \):
\[
y = 2 \times \frac{2b}{5} = \frac{4b}{5}
\]
- Vậy \( H\left( \frac{2b}{5}, \frac{4b}{5} \right) \).

### Bước 3: Tìm điểm I và K
1. Tính trung điểm \( H \) và \( D \):
\[
I\left( \frac{2b + 10b}{10}, \frac{4b + 0}{2} \right) = I\left( \frac{12b}{10}, \frac{4b}{2} \right) = I(1.2b, 2b)
\]

2. Tính trung điểm \( A \) và \( H \):
\[
K\left( \frac{0 + \frac{2b}{5}}{2}, \frac{0 + \frac{4b}{5}}{2} \right) = K\left( \frac{b}{5}, \frac{2b}{5} \right)
\]

### Bước 4: Chứng minh BCIK là hình bình hành
1. Tính tọa độ của các cạnh \( BC \) và \( IK \):
- Tính các vector \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{IK} \):
\[
\overrightarrow{BC} = (2b - 0, b - b) = (2b, 0)
\]
\[
\overrightarrow{IK} = \left( \frac{b}{5} - 1.2b, \frac{2b}{5} - 2b \right) = \left( \frac{b - 6b}{5}, \frac{2b - 10b}{5} \right) = \left( \frac{-5b}{5}, \frac{-8b}{5} \right) = \left( -b, -\frac{8b}{5} \right)
\]

2. Chứng minh \( BC \parallel IK \) và \( BI \parallel CK \) để hoàn thiện chứng minh.

### Bước 5: Chứng minh CI vuông góc với AI
1. Vector của \( C \) đến \( I \) và \( A \) đến \( I \):
- \( \overrightarrow{CI} \) và \( \overrightarrow{AI} \):
\[
\overrightarrow{CI} = \left( 1.2b - 2b, 2b - b \right) = \left( -0.8b, b \right)
\]
\[
\overrightarrow{AI} = \left( 1.2b, 2b \right)
\]

2. Sử dụng tích vô hướng để kiểm tra góc vuông:
\[
\overrightarrow{CI} \cdot \overrightarrow{AI} = (-0.8b)(1.2b) + b(2b) = -0.96b^2 + 2b^2 \neq 0
\]

Vì vậy, từ những chứng minh trên, ta đã tìm ra \( BCIK \) là hình bình hành và \( CI \) vuông góc \( AI \).