Để chứng minh rằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) không lớn hơn \( \frac{AB}{2} \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học.

Giả sử \(AB\) là đường kính của nửa đường tròn với tâm \(O\). Đặt \(C\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\). Theo định nghĩa, \(O\) cũng là trung điểm của \(AB\) vì đoạn thẳng \(AB\) là đường kính.

Gọi \(r\) là bán kính của nửa đường tròn, rõ ràng ta có \(r = \frac{AB}{2}\).

Bây giờ, điểm \(M\) thuộc nửa đường tròn, do đó nó nằm trong khoảng cách bằng bán kính từ tâm \(O\). Khi đó, theo định lý Pythagore, khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) (ký hiệu là \(d\)) có thể được xác định bằng hình chiếu của đoạn thẳng \(OM\) trên đường thẳng \(AB\).

Lưu ý rằng đường thẳng \(AB\) nằm ngang và tâm \(O\) của nửa đường tròn được đặt trên mặt phẳng. Kéo dài một đường thẳng nối \(O\) và \(M\) tới đường thẳng \(AB\), ta sẽ có:

1. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) là nhỏ hơn hoặc bằng độ dài của đoạn thẳng \(OM\), tức là \(d \leq OM\).
2. Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo thành với hai điểm \(O\) và \(M\), độ dài \(OM\) phải thỏa mãn:
\[
OM^2 = OA^2 - AM^2
\]
trong đó \(OA\) là bán kính (\(=r\)) và \(AM\) là khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\).

Nếu \(M\) ở trên \(AB\) thì \(d=0\). Nếu \(M\) nằm trong nửa đường tròn, thì:
- Khoảng cách này sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính của nửa đường tròn.
- Do đó, khoảng cách \(d\) không thể lớn hơn \( \frac{AB}{2} \).

Từ đó, nhận thấy được rằng:
\[
d \leq r = \frac{AB}{2}
\]

Vậy khẳng định rằng khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(AB\) không lớn hơn \( \frac{AB}{2} \) là đúng.

Ta đã chứng minh xong.