Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một.

### a) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

Trong tam giác vuông cân ABC với A là đỉnh vuông, M là một điểm thuộc cạnh BC. Chúng ta vẽ đường vuông góc từ M đến AB (gọi điểm giao điểm là D) và từ M đến AC (gọi điểm giao điểm là E).

- **Bằng chứng cho ADME là hình chữ nhật**:
1. Trong tứ giác ADME, AD và ME là các đường vuông góc với nhau (AD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC).
2. Do M nằm trên BC, chúng ta thấy rằng AE và MD cũng là đường vuông góc (E trên AC, D trên AB).
3. Bốn góc của tứ giác ADME là các góc vuông (tức là 90 độ).

Từ đó, nếu bốn góc đều là góc vuông, chứng tỏ rằng ADME là hình chữ nhật.

### b) Cho AC = 4cm. Tính chu vi của ADME

1. **Tính độ dài các đường**:
- Vì tam giác ABC là vuông cân tại A, nên AB = AC = 4 cm.
- Trong tam giác vuông, ta có \( BC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) cm.

2. **Tính độ dài AD và ME**:
- D là chân đường vuông góc từ M đến AB và E là chân đường vuông góc từ M đến AC.
- Gọi độ dài MD = x (bất kỳ, vì M có thể di chuyển trên BC).
- Khi đó, ME = MC (vì ME vuông góc với AC) cũng sẽ tùy thuộc vào vị trí của M, nhưng cả hai đường này sẽ không ảnh hưởng đến tính chất của hình chữ nhật ADME.

Với dữ liệu từ bài, ta không thể xác định cụ thể chu vi của tứ giác ADME mà không biết vị trí của M trên BC. Tuy nhiên, nếu chúng ta xác định được độ dài AD và ME, chu vi của tứ giác sẽ được tính bằng:

\[
P = AD + DM + ME + AE
\]

Với:
- \( AD = MD = x \) (do D cũng là một điểm trên AB).
- \( ME = MC = AC - x = 4 - x \).
- \( AE = AC = 4 \).

Nên chu vi sẽ là:

\[
P = x + (4 - x) + 4 + 4
\]

Do đó, chu vi sẽ là:

\[
P = 4 + 4 = 8 \text{ cm}
\]

Kết luận:
- **Tứ giác ADME là hình chữ nhật.**
- **Chu vi của hình chữ nhật ADME là 8 cm.**