Để giải bài toán này, ta cần phân tích phương trình đã cho:

\[
a \ln^2 x + b \ln x + 5 = 0
\]

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo biến số \( \ln x \). Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \), điều kiện cần là định thức của phương trình bậc hai này phải lớn hơn 0:

\[
D = b^2 - 4a \cdot 5 > 0 \implies b^2 - 20a > 0
\]

Tiếp theo, chúng ta chuyển qua phương trình thứ hai:

\[
S = \log^2 x + b \log x + a = 0
\]

Tương tự, phương trình này cũng cần có hai nghiệm phân biệt. Ta ký hiệu \( y = \log x \), sau đó tìm điều kiện cho phương trình bậc hai:

\[
D' = b^2 - 4a > 0
\]

Cả hai bất đẳng thức cần thỏa mãn:

1. \( b^2 - 20a > 0 \)
2. \( b^2 - 4a > 0 \)

Từ đây, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa \( a \) và \( b \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S = 2a + 3b \), ta có thể thử một số giá trị nguyên dương cho \( a \) và \( b \) sao cho thỏa mãn các điều kiện trên.

### Bước 1: Tìm các giá trị \( a \) và \( b \)

Giả sử:

- \( a = 1 \):
- Ta có \( b^2 > 20 \) và \( b^2 > 4 \) ⇒ \( b > \sqrt{20} \approx 4.47 \) ⇒ \( b \geq 5 \)
- \( b = 5 \):
- Kiểm tra \( b^2 - 20a > 0 \): \( 25 - 20 \cdot 1 > 0 \) ⇒ đúng.

Tính giá trị \( S = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17 \).

### Bước 2: Kiểm tra các giá trị khác

Tiếp tục thử với:

- \( a = 2 \):
- \( b^2 > 40 \Rightarrow b \geq 7 \rightarrow b = 7 \)
- Tính \( S = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 7 = 4 + 21 = 25 \).

Tương tự với các giá trị khiến \( S \) lớn hơn 17.

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( S \) là **17**.

Vậy đáp án là: **C. \( S_{min} = 17 \)**.